实验7：马尔柯夫预测7.1实验目的1、了解状态及状态转移的概念，理解马尔科夫链定义和性质，能根据具体实例和研究目的划分状态；2、掌握用Excel 软件计算一步转移概率矩阵的全过程；3、掌握利用Excel 软件进行马尔科夫链、市场占有率、马尔科夫稳态的相关预测。

7.2实验原理7.2.1 马尔柯夫预测的基本原理马尔可夫预测法是马尔科夫过程和马尔科夫链在经济预测领域的一种应用，这种方法通过对事物状态划分、研究各状态的初始概率和状态之间转移概率来预测事物未来状态变化趋势，以预测事物的未来。

7.2.1．1马尔可夫链若时间和状态参数都是离散的马尔科夫过程，且具有无后效性，这一随机过程为马尔可夫链。

无后效性可具体表述为如果把随机变量序列{}(),Y t t T ∈的时间参数s t 作为“现在”，那么s t t >表示“将来”，s t t <表示“过去”，那么，系统在当前的情况()s Y t 已知的条件下，()Y t “将来”下一时刻所处的的情况与“过去”的情况无关，随机过程的这一特性称为无后效性。

7.2.1．2状态及状态转移1、状态是指客观事物可能出现或存在的状况。

在实际根据研究的不同事物、不同的预测目的，有不同的预测状态划分。

（1）预测对象本身有明显的界限，依状态界限划分。

如机器运行情况可以分为“有故障”和“无故障”两种状态，天气有晴、阴、雨三种状态。

（2）研究者根据预测事物的实际情况好预测目的自主划分。

如：公司产量按获利多少人为的分为畅销、一般销售、滞销状态。

这种划分的数量界限依产品不同而不同。

2、状态转移是指所研究的系统的状态随时间的推移而转移，及系统由某一时期所处的状态转移到另一时期所处的状态。

发生这种转移的可能性用概率描述，称为状态转移概率7.2.2状态转移概率矩阵及计算原理1、概念：状态转移概率指假如预测对象可能有E 1，E 2，…，E n 共n 种状态，其每次只能处于一种状态i E ，则每一状态都具有n 个转向（包括转向自身），即：1i E E →1 、2i E E →、 、i n E E →，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。

最基本的是一步转移概率(|)j i P E E ，它表示某一时间状态i E 经过一步转移到下一时刻状态j E 的概率，可以简记为ij P 。

2、状态转移概率矩阵P系统全部一次转移概率的集合所组成的矩阵称为一步转移概率矩阵，简称状态转移概率矩阵1112112122221212j n j n i i ij in n n njnn p p p p p p p p P p p p p p p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 0ij p ≥ 11nij i p ==∑称P 为状态转移概率矩阵。

若一步转移概率矩阵为P ，则k 步转移矩阵为()(1)k k P P P -=⨯7.2.3马尔柯夫链预测马尔柯夫方法是研究随机事件变化的一种方法。

预测对象的变化常受各种不确定因素的影响而带有随机性，若其具有无后效性，则用马尔可夫法进行预测会更有效、方便。

一、一重链状相关预测（一）一重马尔可夫链：若时间序列Y t 在t=k+1（将来时期）时取值的统计规律只与Y t 在t=k （现在时期）时的取值有关，而与t=k 以前的取值无关，则称此时序为一重链状相关时间序列，（二）预测步骤：一重链状相关预测是利用一步移概率矩阵进行预测。

预测步骤：1、预测对象状态划分：1）预测对象本身已有明显状态界限；2）不明显的，在划分时进行全面调查、了解，并结合预测目的加以分析。

2、计算初始概率i p初始概率是指状态出现的概率。

当状态概率的理论分布未知时，若样本容量足够大，可用样本分布近似地描述状态的理论分布。

因此，可用状态出现的频率近似地估计状态出现的概率。

假定预测对象有i E （i=1,2,…，n ）个状态，在已知历史数据中，i E 状态出现的次数为i M ；则i E 出现的频率i i M F N=3、计算状态的下转移概率ij p 。

同状态的初始概率一样，状态转移概率的理论分布未知，当样本容量足够大时，也可以用状态之间相互转移的频率近似地描述其概率。

假定由状态i E 转向j E 的个数为i M ，那么()(|)ijij i j j i iM p P E E P E E M =→=≈(1,2,,)i n = (1,2,,)j n = 就得到一步转移概率矩阵1112112122221212j n j n i i ij in n n njnn p p p p p p p p P p p p p p p p p ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 矩阵主对角线上的P 11 ，P 22 ，…P nn 表示经过一步转移后仍处在原状态的概率。

4、根据转移概率矩阵和初始概率进行预测。

7.2.3.1 马尔可夫模型预测马尔可夫模型预测是利用概率建立一种随机型时序模型进行预测的方法。

预测模型：(1)()k k S S P += 式中：()k S 是预测对象t=k 时刻的状态向量；P 为一步转移概率矩阵; (1)k S +是预测对象在t=k+1时的状态向量，预测的结果。

根据上述预测模型可得：(1)(0)S S P =(2)(1)S S P = (1)(0)(1)k k S S P ++=1、预测模型：式中：S (0)为预测对象的初始状态向量。

是由状态的初始概率组成的向量。

对于马氏链，它处于任一时刻t 的概率可由初始概率初始状态向量和一步转移概率所决定。

2、适用条件：预测模型只适用于具有马尔可夫性的时间序列，在要预测期内，各时刻的状态转移概率保持稳定，均为一步转移概率。

若时序的状态转移概率随不同时刻在变化，不宜用此方法。

此方法一般适用于短期预测。

状态转移概率矩阵P 全面地描述了预测对象在各个状态之间变化的关系，在预测中有着很重要的作用。

它不仅决定了预测对象所处的状态，而且决定着预测对象的变化趋势和最终结果。

7.2.3.2终极市场占有率预测经过较长一段时间以后，马氏链将逐渐趋于这样一种状态，它与初始状态无关，在n+1期的状态概率与前一期即n 期的状态概率相等，有(1)()k k S S +=成立。

马氏链这个状态称为稳定状态。

一、马氏链的稳态概率马氏链达到稳定状态时的状态概率就是稳定状态概率，也称为稳态概率。

马氏链在一定条件下，经过k 步转移后，会达到稳定状态。

1、稳定状态的条件如果一步转移概率矩阵是标准概率矩阵，则马氏链能够达到稳定状态。

2、稳态概率的求解由马氏链稳定状态定义可知，处于稳定状态时，有(1)()k k S S +=，即(1)()()k k k S SP S +==，假设()12(,,,)k n Sx x x = ，且11ni i x ==∑是经k 步转移后的状态向量，一步转移概率矩阵为：1111n n nn P P P P P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦根据 S （k+1）=S （k ）·P= S （k ）展开为：111()12121(,,,)(,,,)n k n n n nn P P x x x S x x x P P ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦得如下方程组：11121211n n P x P x P x x +++= 12122222n n P x P x P x x +++=1122n n nn n n P x P x P x x +++=12,1n x x x +++=移项得： 1112121(1)0n n P x P x P x -+++=1212222(1)0n n P x P x P x +-++=1122(1)0n n nn n P x P x P x +++-= 12,1n x x x +++=上式中有n 个变量，但有n+1个方程，说明其中一个方程不独立，消去其中第n 个方程，写成矩阵形式 ：1121112222(1)(1)1111n n P P P P P P -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ =001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦令11211122221(1)(1)1111n n P P P P P P P -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12()n n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦001B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则：()1n P X B = ()11n X P B -=即求得()n X 是马氏链的稳态概率。

7.3实验数据7.3.1 厂家1，厂家2和厂家3是北京地区三个牛奶供应商表示。

去年12月份对2000名消费者展开调查。

得到转移频率矩阵如下：3202402403601806036060180N ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭试对三个厂家1~7月份的市场占有率进行预测。

7.3.2 某汽车修理公司在北京市有甲、乙、丙3个修理厂，经过几年的发展公司形成了一定规模的、稳定的客户群。

对客户调查的结果显示，客户在甲、乙、丙3个修理厂之间的转移概率为：0.80.200.200.80.20.20.6P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由于公司的原因，公司目前打算只对其中的一个维修厂进行扩大规模。

试分析应选择哪个维修厂。

7.4实验过程实验数据7.3.1实现过程如下： 步骤1：计算一步转移概率矩阵首先统计每个厂家的购买人数，即计算各行数据的和输入上述公式，sum(A1:C1)计算第一行的值，然后按回车【Enter】键,得到和为800，点鼠标左键向下拖到D3,便得到每一行的和。

然后用一行中的每一个数据除以它们的和，得到转移概率矩阵p步骤2：计算初始状态去年12月份各厂家的市场占有率，用2000去除800，600和600，得到步骤3：预测今年1月三个厂家市场占有率；首先，用鼠标选中B5：D5区域以存储今年1月三厂家的市场占有率；然后点击主菜单中的【公式】，下拉菜单中选择【插入函数】，出现如下对话框：在【或选择类别】中选中数学与三角函数，【选择函数】选数组乘法函数【MMULT】，点确定，结果如下：在数组Array1输入初始状态的市场占有率的单元格范围B1：D1，同样在数组Array2中输入一步转移概率矩阵的单元格范围B2：D4:特别注意，不要点确定键，如果按确定键会输出单个值，先按F2使表格处于编辑状态，然后同时按键盘上的【Ctrl】, 【Shift】,【Enter】，输出单元格区域为B5：D5，即厂家1预计今年1月份市场占有率为0.52，厂家2预计今年1月份市场占有率为0.24，厂家3预计今年1月份市场占有率为0.24。

步骤4：预测今年2月份三个厂家市场占有率用鼠标选中存储单元格B6：D6，按照上面的步骤点击主菜单中的【公式】，下拉菜单中选择【插入函数】，在【或选择类别】中选中数学与三角函数，【选择函数】选数组乘法函数【MMULT】，修改数组Array1输入今年1月份市场占有率，即B5：D5，数组Array2中输入一步转移概率矩阵B2：D4，按三键【Ctrl】+【Shift】+【Enter】，输出单元格区域为B6：D6。