东城区2018-2019学年度综合练习(一)高三数学 (文科)学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页,共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知复数z 满足(1i)2z -=,则z 等于(A )1i + (B )1i - (C )1i -+ (D )1i -- (2)命题“0x ∃∈R ,20log 0x ≤”的否定为(A )0x ∃∈R ,20log 0x > (B )0x ∃∈R ,20log 0x ≥ (C )x ∀∈R ,2log 0x ≥ (D )x ∀∈R ,2log 0x >(3)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且当0x >时,()ln(1)f x x =+,则函数()f x 的大致图像为(A )(B ) (C ) (D )(4)给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面平行; ②若两个平面都垂直于同一条直线,则这两个平面平行;③若两个平面互相垂直,则在其中一个平面内的直线垂直另外一个平面;④若两个平面互相平行,则在其中一个平面内的直线平行另外一个平面. 其中为真命题的是(A )①和② (B )②和③ (C )③和④ (D )②和④ (5)已知函数()sin y x =ω+ϕ(0,0)2πω><ϕ≤的部分图象如图所示,则点P (),ωϕ的坐标为(A )(2,3π (B )(2,6π(C )1(,23π (D )1(,26π(6)若右边的程序框图输出的S 是126,则条件①可为(A )5n ≤ (B )6n ≤ (C )7n ≤ (D )8n ≤(7)已知函数131()()2xf x x =-,那么在下列区间中含有函数()f x 零点的为(A )1(0,)3 (B )11(,)32(C )1(,1)2(D )(1,2)(8)空间点到平面的距离如下定义:过空间一点作平面的垂线,该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离.平面α,β,γ两两互相垂直,点A ∈α,点A 到β,γ的距离都是3,点P 是α上的动点,满足P 到β的距离是到P到点A 距离的2倍,则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值为 (A )3 (B )323- (C )36- (D )33-第Ⅱ卷(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)抛物线28y x =的焦点坐标为 .(10)在等差数列{}n a 中,若1232,13a a a =+=,则456a a a ++= . (11)已知向量a ,b ,c 满足-+=20a b c ,且⊥a c ,||2=a ,||1=c ,则||=b . (12)已知π(,π)2α∈,π1tan()47α+=,则sin cos αα+= . (13)设22,1,()log (1),1,xa a x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩且1f =,则a = ; ((2))f f = .75 80 85 90 95 100 分数频率0.010.02C(14)设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤≥≥k kx y y x 4,0,0在直角坐标系中所表示的区域的面积为S ,则当1k >时,1-k kS的最小值为 .三、解答题:本大题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(15)(本小题共13分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .4cos 5C =,2cos c b A =. (Ⅰ)求证:A B =; (Ⅱ)若△ABC 的面积152S =,求c 的值.(16)(本小题共13分)已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形.PB PD =,E 为PA 的中点. (Ⅰ)求证:PC ∥平面BDE ; (Ⅱ)求证:平面PAC ⊥平面BDE .(17)(本小题共13分)某高校在2019年的自主招生考试成绩 中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩 分组:第1组[75,80),第2组[80,85), 第3组[85,90),第4组[90,95),第5组 [95,100]得到的频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)分别求第3,4,5组的频率;(Ⅱ)若该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,求第3,4,5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试,求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率.(18)(本小题共14分)已知函数32()f x x ax x c =+-+,且2'()3a f =. (Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)求函数)(x f 的单调区间;(Ⅲ)设函数xe x xf xg ⋅-=])([)(3,若函数)(x g 在]2,3[-∈x 上单调递增,求实数c 的取值范围.(19)(本小题共14分)已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率为12,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)若过点(0,)P m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ,且3A P PB =,求实数m 的取值范围.(20)(本小题共13分)对于)2(≥∈n n *N ,定义一个如下数阵:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n nn a a a a a a a a a A 212222111211其中对任意的n i ≤≤1,n j ≤≤1,当i 能整除j 时,1=ij a ;当i 不能整除j 时,0=ij a .(Ⅰ)当4n =时,试写出数阵44A ; (Ⅱ)设nj j j ni ija a a aj t +++==∑= 211)(.若][x 表示不超过x 的最大整数,求证:∑=nj j t 1)(∑==ni in1][.C北京市东城区2018-2019学年度第二学期综合练习(一)高三数学参考答案 (文科)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) (1)A (2)D (3)C (4)D (5)A (6)B (7)B (8)D 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) (9)(2,0) (10)42(11) (12)51- (13)7;6(14)32注:两个空的填空题第一个空填对得2分,第二个空填对得3分. 三、解答题(本大题共6小题,共80分)(15)(共13分)(Ⅰ)证明:因为2cos c b A =,由正弦定理得sin 2sin cos C B A =⋅, 所以sin()2sin cos A B B A +=⋅, sin()0A B -=,在△ABC 中,因为0πA <<,0πB <<, 所以ππA B -<-<所以A B =. ……………………6分(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知a b =.因为4cos 5C =,所以3sin 5C =. 因为△ABC 的面积152S =,所以115sin 22S ab C ==,5a b ==. 由余弦定理2222cos 10c a b ab C =+-=所以c =. ……………………13分(16)(共13分)(Ⅰ)证明:因为E ,O 分别为PA ,AC 所以EO ∥PC . 因为EO ⊂平面BDE PC ⊄平面BDE 所以PC ∥平面BDE . (6)(Ⅱ)证明:连结OP 因为PB PD =,所以OP BD ⊥.在菱形ABCD 中,BD AC ⊥ 因为OPAC O =所以BD ⊥平面PAC 因为BD ⊂平面BDE所以平面PAC ⊥平面BDE . ……………………13分(17)(共13分)解:(Ⅰ)由题设可知,第3组的频率为0.0650.3⨯=, 第4组的频率为0.0450.2⨯=,第5组的频率为0.0250.1⨯=.……………………3分(Ⅱ)第3组的人数为0.310030⨯=, 第4组的人数为0.210020⨯=,第5组的人数为0.110010⨯=.因为第3,4,5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组抽取的人数分别为:第3组:306360⨯=, 第4组:206260⨯=, 第5组:106160⨯=. 所以第3,4,5组分别抽取3人,2人,1人. ……………………8分 (Ⅲ)设第3组的3位同学为1A ,2A ,3A ,第4组的2位同学为1B ,2B , 第5组的1位同学为1C . 则从六位同学中抽两位同学有:1213111211(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A C23212221(,),(,),(,),(,),A A A B A B A C313231(,),(,),(,),A B A B A C 121121(,),(,),(,),B B BC B C共15种可能.其中第4组的2位同学为1B ,2B 至少有一位同学入选的有:11122122(,),(,),(,),(,),A B A B A B A B3112321121(,),(,),(,),(,),(,),A B B B A B B C B C 共9种可能,所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为93155=. ……………………13分(18)(共14分)解:(Ⅰ)由32()f x x ax x c =+-+,得2'()321f x x ax =+-.当32=x 时,得22222'()3()2'()()13333a f f ==⨯+⨯-, 解之,得1a =-. ……………………4分 (Ⅱ)因为32()f x x x x c =--+.从而21'()3213()(1)3f x x x x x =--=+-,列表如下:所以)(x f 的单调递增区间是)3,(--∞和),1(∞+;)(x f 的单调递减区间是)1,31(-. ……………………9分(Ⅲ)函数32()(())()xxg x f x x e x x c e =-⋅=--+⋅,有2')(21)()x x g x x e x x c e =--+--+(=2(31)xx x c e --+-, 因为函数在区间]2,3[-∈x 上单调递增,等价于2()310h x x x c =--+-≥在]2,3[-∈x 上恒成立, 只要0)2(≥h ,解得11c ≥,所以c 的取值范围是11c ≥. ……………………14分(19)(共14分)解:(Ⅰ)设所求的椭圆方程为:22221(0)x y a b a b+=>>由题意:22212231c a a a c b c a b c ⎧==⎪⎧⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪==+⎩⎪⎩所求椭圆方程为:22143x y +=. ……………………5分 (Ⅱ)若过点(0,)P m的斜率不存在,则2m =±. 若过点(0,)P m 的直线斜率为k,即:m ≠时, 直线AB 的方程为y m kx -=由22222(34)841203412y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ 2222644(34)(412)m k k m ∆=-+-因为AB 和椭圆C 交于不同两点 所以0∆>,22430k m -+> 所以2243k m >- ① 设1122(,),(,)A x y B x y由已知3AP PB =,则21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++ ②1122(,),(,)AP x m y PB x y m =--=-123x x -= ③将③代入②得:222244123()3434km m k k --=++整理得:22221612390m k k m -+-=所以222931612m k m -=-代入①式得2222934343m k m m -=>-- 2224(3)043m m m -<-,解得2334m <<.所以m <<m <<综上可得,实数m的取值范围为:3([,3)22-. ……………………14分(20)(共13分)解:(Ⅰ)依题意可得,441111010100100001A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭……………………4分(Ⅱ)由题意可知,)(j t 是数阵nn A 的第j 列的和, 因此∑=nj j t 1)(是数阵nnA所有数的和.而数阵nn A 所有数的和也可以考虑按行相加.对任意的n i ≤≤1,不超过n 的倍数有i 1,i 2,…,i in ][.因此数阵nn A 的第i 行中有][i n 个1,其余是0,即第i 行的和为][in . 所以∑=n j j t 1)(∑==ni in1][. ……………………13分。