f(0)lim ln(bx2)lnb
x 0
a
1cosx~ 1x2 2
1 ln b
2
高等数学期末辅导
x1 x -1
例2 函数f (x) a
x-1
2xb x-1
在x1处连,则 续a=( 0 ), b=2
解：计算函数值 f(1)？ a，计极限值
lim f (x) ？，此时，要考察左右极限，
x1
右极限 f( 1 0 )lim f(x) ？ 0 x 1
limcosx x2 sinx
例3. 求 lim xx.
x0
00 型
解:
lim x x limexlnx
x0
x0
e0
1
高等数学期末辅导
例4. 求 xl im0txa2nsxinxx.
0型 0
解: 注意到 ～
原式 xl im0tanxx3x xl im0se3c2xx21
lim
x0
tan2 x 3x2
高等数学上 复习
高等数学期末辅导
考试形式：闭卷 考试时间：2小时
题目类型：选择，填空，计算， 证明，综合
考试注意事项：
签名，时间控制，先易后难， 答题规范。
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一、极限计算
• 主要方法：两个重要极限，无穷小替换， 罗必塔法则，其他方法（有理化、定积分定义 等），特别注意各种方法的结合。如无穷小+罗 必塔，罗必塔+积分上限函数等。
cotx
lim
x0
(1 2x )cotx 1x
1
ln(112xx)
～
2 1
x x
高等数学xl期i m末0(cs辅oinsxx导 12xx) e 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
常用等价无穷小:
sin x～x ;
～
～ arcsinx～x ;
e x 1～ x ;
～
例1. 求 xl im 0tanxx3sinx.
例1 设f xln1x3x x0
A x 0
在x=0处连续,则A=( ) 解：计算函数值f(0)＝A, 计极限值 limf (x)3
x0
所以A=3
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例1. 设函数
在 x = 0 连续 , 则 a = 2 , b = e .
提示:
f(0)xl i0m a(1xc2 ox)s
a 2
1coxs～
1 2
x
2
;
～
(1x) 1～x;
解: 原式
原式 xl im 0xx3x
lim
x0
x
1 2
x2
x3
高等数学期末辅导
1
例2. 求 lim(1x2)3 1. x0 cosx1
解:
高等数学期末辅导
分子或分母有理化
例 计算
lim x-3 x3 5 2x2 7
解： lim
x3 5
x-3 2x2 7
f(x0)x l ixm 0 fxx l ix0m fxf(x0)0lixm0y 0
(2) 函数f (x)在点x0处极限存在的充要是条件
函数 f(x)在点 x0处的左右极限存 等在 且
x l x 0 i f x m A f x 0 0 A 且 f x 0 0 A
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x -3 5 2 x 2 7 lim
x 35 2 x 2 75 2 x 2 7
10lxi m 318x-23x2
5lx i3 m 9x-x32
5 6
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罗必塔法则
2) f(x)与 F(x)在 (a)内可 , 导
3)
lim f (x) xa F(x)
存在 (或为
)
limf(x)limf(x) xaF(x) xaF(x)
左极限 f( 1 0 ) lifm (x ) ？ 2 b x 1
由连续的定义，可得 a=( 0 ), b=2
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三、导数与微分
26x1
x l im 13x253x25 3x5 e4
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例5： 求下列极限：
(1 )li( m sx i n 1 six n )
x
(2) xl im1s1inx2x
(3)xl im 011 xxcoxt
提示: (1 )six n 1 six n
2 six n 1xcox s1x
2
2
2sin 1 coxs 1x
2 ( x 1x)
2
无穷小
有界
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(2) lim 1 x 2
x1 sin x
令 t x1
lim
t 0
t(t2) sin (t 1)
lim
t 0
t (t 2 ) sin t
lim
t 0
t (t 2 ) t
2
(3)
lim 1 x
x 0 1 x
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例1. 求
0型 0
解: 原式 lim 3x2 3 x1 3x22x1
lim 6x 3 x16x 2 2
注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !
lim 6x
lim 6 1
x1 6x 2
x1 6
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例2.
求
lim (sexctaxn).
x 2
型
解: 原式 lim( 1 sinx) lim1sinx x2 coxs coxs x2 cosx
0
0
解: 原式 lim eco2sx(sinx) 1
x0
2x
2e
例7. 确定常数 a , b , c 的值, 使
解:
b0.
原式 =
c ≠0 , 故 a1. 又由
～
,
得
c

1 2
.
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说明 目录 上页 下页 返回 结束
二、连续性（分段函数情形）
(1) 函f数 (x)在x点 0处连 续
函数 f(x)在点 x0处的函数值等 处于 的在 极 该 限
se2xc1ta2n x
1 3
高等数学期末辅导
1
例5.
6
分析: 原式 xl i0m coxxs(sxi2nsxixn) sin x ～ x
xl im0xxs3 ixn
limcosx1
x0
xl im013cxo2 sx
lim
x0
1 2
x
2
3x2
1 6
1cox～s12 x 2
高等数学期末辅导
例6. 求
或 高等数学期末辅导
例1
limxsin1
sin1 lim 5x
1
x
5x n 5 1 5
5x
注意与
limxsin1 0 区别
x0
x
例2. 求
解: 令 tarcsxi,n则 xsitn,因此
原式 lim t t0 sint
sin t 1
t
高等数学期末辅导
例3
lim 13nlim 13n3n3n n n n n
ln im1
n
33
n
3
e3
注意“凑”的技巧，想法凑成公式需 要的形式。
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例4
计算
lim
3x
7
6x1
x 3x 5
解：li m 3 x 7 6 x 1li m 1
2
6 x 1
x 3 x 5
x 3 x 5
lim 1
2
3x5 2 6x1
2 3x5
e4
x 3x5