实验十一 光学传递函数测量及像质评价实验光学成像系统是信息（结构、灰度、色彩）传递系统，从物面到像面，输出图像的质量取决于光学系统的传递特性。

在频域中分析光学系统的成像质量时，可以把光学成像系统看成是一个低通空间滤波器，将输入信息分解成各种空间频率分量。

通过考察这些空间频率分量在通过系统的传递过程中丢失、衰减、相位移动等变化，也就是研究系统的空间频率传递特性即光学传递函数（OTF ，Optical Transfer Function ），来获取成像的空间频谱特性。

光学传递函数的性质主要体现在：它定量反映了光学系统的孔径、光谱成分以及像差大小所引起的综合效果；用它来讨论光学系统时，其可靠性依赖于光学系统对线性和空间不变性的满足程度；用它来分析讨论物像之间的关系时，不受试验物形式的限制；可以用各个不同方位的一维光学传递函数来分析处理光学系统，简化了二维处理；它可以根据设计结果进行计算，也能对已制成的光学系统进行测量。

可见，光学传递函数表征光学系统对物体或图像中不同频率的信息成分的传递特征，可用于光学系统成像质量的评价。

本实验利用非相干面光源、光栅、透镜、CCD （Charge-coupled Device ，电荷耦合元件）图像传感器、数据采集和处理系统，测出光学成像系统的光学传递函数曲线图，并对成像质量作出评价。

一、实验目的1．了解光学传递函数及其测量方法。

2．掌握传递函数测量和像质评价的近似方法。

3．熟悉抽样、平均和统计算法。

二、实验仪器面光源、凸透镜、CCD 图像传感器、数据采集及处理系统、计算机、导轨（滑块）、调节支座（支架）、干版架、可调节光阑。

三、实验原理1. 光学传递函数一个确定的物分布可看成许多个δ函数的线性组合，每个δ函数在像面上均有对应的脉冲响应。

如果是非相干照明，则物面上任意两个脉冲都是非相干的，它们的脉冲响应在像面上也是非相干叠加，也就是强度叠加。

假设非相干成像系统是强度的线性系统，成像空域不变，则该系统物像关系满足以下卷积积分：000000ˆˆˆˆˆˆ(,)(,)(,)(,)(,)i i i I i i g i i I i i I x y K I xy h x x y y dx dy K I x y h x y ∞∞-∞-∞=--=⊗⎰⎰（1）式中(,)g i i I x y 是物体000(,)I x y 理想像的强度分布，(,)i i i I x y 是物体000(,)I x y 通过衍射受限系统后成像的强度分布，(,)I i i h x y 是强度脉冲响应，为点物产生的像斑的强度分布。

I I gi图1 物、像光强分布与调制度、光学传递函数关系示意图对式(1)两边做傅里叶变换，得到频域中的物像关系，ˆˆˆ(,)(,)(,)i g IG u v G u v H u v = （2） 式中ˆ(,){(,)}i i i i G u v F I x y =，ˆ(,){(,)}g g i i G u v F I x y =，ˆ(,){(,)}I I i iH u v F h x y =。

由于i I 、g I 、I h 均为非负实函数，必有零频分量。

对频谱进行归一化，可得到2()ˆ(,)(,)ˆ(,)ˆ(0,0)(,)i i j ux vy i i i i ii i iii i i iI x y e dx dy G u v u v G I x y dx dy π∞∞-+-∞-∞∞∞-∞-∞Γ==⎰⎰⎰⎰2()ˆ(,)(,)ˆ(,)ˆ(0,0)(,)i i j ux vy g i i i ig ggg i i i iI x y e dx dy Gu v u v G I x y dx dy π∞∞-+-∞-∞∞∞-∞-∞Γ==⎰⎰⎰⎰2()(,)ˆ(,)ˆ(,)ˆ(0,0)(,)i i j ux vy I i i i iI I II i i i ih x y e dx dy H u v u v H h x y dx dy π∞∞-+-∞-∞∞∞-∞-∞Γ==⎰⎰⎰⎰因此有 ˆˆˆ(,)(,)(,)i g I u v u v u v Γ=ΓΓ，其中(,)ˆ(,)(,)i u v Iu v M u v e j Γ=称为非相干成像系统的光学传递函数（OTF ，Optical Transfer Function ），是一个复函数，模部分(,)M u v 为调制传递函数（MTF ，Modulation Transfer Function ），相位部分(,)u v j 为相位传递函数（PTF ，Phase Transfer Function ）。

MTF 和PTF 分别反映空间频率为(,)u v 的余弦分量通过系统的降低度和横向位移量。

根据调制度的定义max min max min ()/()V I I I I =-+知，物体理想像强度分布g I 和通过成像系统之后的像强度分布i I 的调制度分别为max min max ming g g g g I I V I I -=+和max minmax mini i i i i I I V I I -=+，且(,)i g V M u v V =。

为方便理解相关概念，图1给出了物、像的光强分布与调制度、光学传递函数的关系。

对于一维正弦光栅，其透过率是空间的正弦函数，可表示为0()cos(2)I x a b x πν=+,其中物分布初相位为零，ν为x 方向的空间频率，则物的调制度为/g V b a =，物光经过系统后像光强的频谱为[][]ˆˆˆ()()()ˆ()()()()2ˆˆ(0)()()()()2i x g x I xx x x I x I x x x I xG G H b a H b aH H νννδνδννδνννδνδννδννν=⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭=+-++ 对上式进行傅里叶逆变换，得到像面光强分布函数()(0)()cos(2)i I I I x ah b h x νπνφ=+-，其中()()i I I h h eφνν-=。

因此，该光学系统对应于空间频率ν余弦输入信号调制传递函数为()()/(0)I I M h h νν=。

考虑到正弦光栅分划板难于制造，且达不到精度要求，实验中用矩形光栅代替正弦光栅作为成像物，测出系统的对比传递函数，再求出调制传递函数。

取空间频率为ν的矩形光栅，进行傅里叶展开，得到112sin(2)()2n n x I x n πνπ∞==+∑。

假设成像时系统的调制传递函数为()i M ν，则矩形光栅像的强度分布为112sin(2)()()2i n n x I x M n nπννπ∞==+∑，像的调制度为411()(3)(5)35i V M M M νννπ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦。

假设矩形光栅的调制度为1，则该成像系统的对比传递函数411()()(3)(5)35C M M M ννννπ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，从而得到成像系统对应空间频率ν的调制传递函数11()()(3)(5)435M M M M πνννν⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦。

考虑到成像系统都存在截止频率off ν，故实际使用的项数有限。

低频情况下，一般取前三项就达到精度要求。

大于三分之一截止频率时，系统的对比传递函数均为零，此时调制传递函数取()4M πν。

实验中由于衍射和光学像差的影响，使得实际光学系统的像不再是矩形光栅。

通过对矩形光栅形成的像进行抽样统计，作出直方图，两端极大值h M 和极小值l M 之差，可表示在相应空间频率下调制传递函数MTF 值，如图2所示。

强度10x强度1x（a ） （b ）1强度概率M M hl（c ）图2 （a ）调制度为1的矩形光栅目标函数；（b ）对矩形光栅的不完善像进行抽样；（c ）直方统计图2. 利用调制传递函数（MTF ）曲线进行像质评价对数码照片成像素质影响最大的是镜头的分辨率和反差，一般通过拍摄正弦光栅来进行测试。

分辨率的单位是线对/毫米（lp/mm ），相邻的黑白两条线称为一个线对，每毫米能够分辨出的线对数就是分辨率。

正弦光栅的疏密程度被称为空间频率，单位也是lp/mm ，表示单位长度（每毫米）的亮度按照正弦变化的图形的周期数。

在对镜头的反差和分辨率进行测试时，将正弦光栅置于镜头前方，测量镜头成像处的调制度。

这时由于镜头像差的影响，会出现以下情况。

当空间频率很低时，测量出的调制度M 几乎等于正弦光栅的调制度；当所拍摄的正弦光栅空间频率提高时，镜头成像的调制度逐渐下降。

镜头成像的调制度随空间频率变化的函数称为调制度传递函数（MTF ）。

对于原来调制度为0V 的正弦光栅，如果经过镜头到达像平面的像的调制度为1V ，则MTF 函数值为10/V V 。

由此可见， MTF 值越接近1，说明镜头的性能越良好。

MTF 值不但可以反映镜头的反差，也可以反映镜头的分辨率。

由于MTF 值排除了成像介质（胶片或感光元件）的影响，因此较为客观。

当空间频率很低时，MTF 趋于1，这时的MTF 值可以反映镜头的反差。

当空间频率提高，也就是正弦光栅的密度提高时，MTF 值逐渐下降，这时的MTF 曲线可以反映镜头的分辨率。

由于人眼的分辨能力有限，一般取MTF 值为0.03时的空间频率作为镜头的目视分辨率极限。

空间频率低于这个值时，镜头成像素质的变化人眼难以察觉。

a b cMTF 值空间频率1.00.03图3 MTF 曲线示意图 图4 Cabon 公司公布的MTF 曲线图典型的MTF 曲线图见图3，其中曲线a 所代表的镜头在低频段反差适中，但随着空间频率的提高，它的衰减过程比较慢，说明其像质不错；曲线b 所代表的镜头在低频表现较好，说明镜头的反差较好，但随着空间频率的提高，它的曲线衰减很快，说明镜头的分辨率不算很好；曲线c 所代表的镜头在低频时就出现衰减，综合像质较低。

专业绘制MTF 曲线时，需要固定空间频率和光圈，其中固定空间频率低频（10线对/mm ）曲线代表镜头反差特性，这条曲线越高，镜头反差越大。

而固定高频（30线对/mm ）曲线代表镜头分辨率特性，这条曲线越高，镜头分辨率越高。

虽然纵坐标还是MTF 值，但横坐标改为了像场中心到测量点的距离，见图4。

镜头是以光轴为中心的对称结构，中心向各方向的成像素质变化规律是相同的。

由于像差等因素的影响，像场中某点与像场中心的距离越远，其MTF 值一般呈下降的趋势。

因此以像场中心到像场边缘的距离为横坐标，可以反映镜头边缘的成像素质。

另外，在偏离像场中心的位置，由沿切线方向的线条与沿径向方向的线条的正弦光栅所测得的MTF 值并不一样。

将平行于直径的线条产生的MTF曲线称为弧矢曲线，标为S（Sagittal），而将平行于切线的线条产生的MTF曲线称为子午曲线，标为M（Meridional）。