第12章时间序列分析和预测
12.1复习笔记
一、时间序列分解法
时间序列：社会经济指标值按时间顺序排列而形成的一种数列。

时间序列的两个基本构成要素是统计指标所属的时间和统计指标在特定时间的具体指标值。

1．时间序列的因素分解
（1）长期趋势因素（T）
反映了经济现象在一个较长时间内的发展方向，它可以在一个相当长的时间内表现为一种近似直线的持续向上或持续向下或平稳的趋势；在某种情况下，它也可以表现为某种类似指数或其他曲线的形式。

（2）季节变动因素（S）
它是经济现象受季节变动影响所形成的一种长度和幅度固定的周期波动。

既包括受自然季节影响所形成的波动，也包括受工作时间规律所形成的波动。

季节变动和周期变动的区别：季节变动的波动长度固定；而周期变动的长度则一般是不一样的。

（3）周期变动因素（C）
也称循环变动因素，它是受各种经济因素影响形成的上下起伏不定的波动，
（4）不规则变动因素（I）
又称随机变动，它是受各种偶然因素影响所形成的不规则波动。

2．时间序列的分解模型
（1）加法模型：t t t t t Y T S C I =+++；
（2）乘法模型：t t t t t Y T S C I =⨯⨯⨯。

3．时间序列的分解方法
（1）季节指数S 的计算
季节指数的计算是先用移动平均法（移动平均的项数取决于周期变动的时间长度）剔除长期趋势和周期变动，然后再用按月（季）平均法求出季节指数。

（2）长期趋势T 的计算
时间序列的长期趋势可以用回归模型来描述。

画出散点图，依散点图选择合适的模型，得到长期趋势T。

（3）周期变动因素C 的计算
将序列TC 除以T 即得周期变动因素C。

（4）不规则变动因素I 的计算
当将时间序列的T，S，C 分解出来后，剩余的即为不规则变动，即Y I TSC
=。

由于不规则变动因素是不可预测的，因此，一般的时间序列分解分析中，往往忽略不规则变动因素。

4．用时间序列分解法进行预测
用分解法进行预测的过程的步骤为：
（1）建立预测模型；
（2）预测长期趋势；
（3）计算季节因素和周期因素对预测值的影响。

二、时间序列趋势外推法
1．趋势外推法的假定条件
（1）概念
趋势外推法：当研究对象依时间变化呈现某种上升或下降的趋势，并且无明显的季节波动，又能找到一条合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用时间t为自变量，时序数值y为因变量，建立趋势模型：y=f（t）。

如果有理由认为这种趋势能够延伸到未来时，赋予变量t所需要的值，就能得到相应的时间序列未来值。

（2）假设条件
①假设事物发展过程没有跳跃式变化，一般属于渐进变化；
②假设根据过去资料建立的趋势外推模型能适合未来，能代表未来的变化趋势，即未来和过去的规律一样。

2．趋势外推分析法的模型
趋势外推法的实质就是利用某种函数方程来分析研究对象的发展趋势。

以时间t作为自变量，其常用的四种趋势模型为：
（1）多项式曲线模型
（2）指数曲线模型
（3）对数曲线模型
（四）生长曲线模型
式中，L为变量 t y的极限值；a，b为常数。

3．趋势外推模型的选择方法
（1）图形识别法（也称直接观察法）
将时间序列的数据绘制在以时间t为横轴，时序观察值为纵轴的坐标平面上，观察散点的分布并将其形状与各类函数曲线模型的图形进行比较，以选择较为适宜的模型。

在实际中，有可能同时有几种模型都较为接近而无法通过图形直观确认为某种模型，这就必须同时对几种模型进行试算，最后选择标准误差最小的模型作为研究对象的趋势模型。

（2）差分法
为了根据历史数据正确选择模型，常常利用差分法把时间序列的数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。

①一阶向后差分法
当时间序列各期数值的一阶差分相等或大致相等，就可以适配一次（线性）模型。

②二阶向后差分
当时间序列各数值的二阶差分相等或大致相等，就可以适配二次（抛物线）模型。

③指数曲线模型差分
当时间序列各期数值的一阶比率相等或大致相等，就可以适配指数曲线模型。

④修正指数曲线模型差分
当时间序列各期数值一阶差的一阶比率相等或大致相等，就可以适配修正指数曲线模型。

4．用趋势外推分析法进行预测（1）多项式曲线模型的趋势外推预测方法
多项式曲线模型的一般形式为：。

当k=1时，为直线模型；当k=2时，为二次多项式（抛物线）模型；当k=n 时，为n 次多项式模型。

（2）指数曲线模型的趋势外推预测法
指数曲线预测模型为
，对函数模型作线性变换
得：
，令
，则把指数曲线模型转化为直线模型t Y =A bt +。

（3）修正指数曲线模型的趋势外推预测修正指数曲线预测模型为： ()01t
t y a bc c =+<<。

参数a、b 和c 的解法：把整个时间序列分成相等项数的三个组，设各组序列项数为n 项，第一组变量总和为10n i i y
-=∑Ⅰ，第二组变量总和为21n i i n y -=∑Ⅱ，第三组变量总和为31
2n i i n y -=∑Ⅲ。

则
（4）龚珀兹曲线模型的趋势外推预测法
龚珀兹曲线模型的形式为： t b y ka =，将模型做线性变换，得lg lg lg t
y k b a =+，然
后通过将时间序列分为三组，使用以下公式求其参数：
（5）皮尔曲线模型趋势外推预测法
皮尔曲线函数模型的形式为，求解参数的方法是先做变量代换，然后应用最小二乘法可得参数a、b。

三、时间序列自回归预测法
1．时间序列的自相关性
（1）自相关关系
①概念
时间序列的指标值随着时间变化而变化，后期水平往往是在前期水平的基础上发展而来的，因此，前后期水平之间存在一定程度的依存关系，称为时间序列的自相关关系。

②自相关系数与相关系数的关系
它们都是衡量变量间依存程度的指标，但自相关系数描述的是同一个指标前后期数值之间的依存关系，而相关系数则反映的是不同指标之间的依存关系。

（2）自相关系数的计算
①时滞为1的自相关系数的计算公式为：。