涂层残余应力预测解析模型：平面几何模型
热喷涂涂层：熔化的金属颗粒高速碰撞基板然后快速冷却（淬火），在几毫秒时间内冷却。
形成大的拉应力。
蠕变和屈服是主要的应力释放的机理。
一个典型的预测热喷涂涂层残余应力分布的数学模型。
1 模型公式
建立在平面几何的基础之上。
1.1 沉积应力
1.1.1 第一层
应变（1）σq——内（淬火）应力；E d——杨氏模量
假设每一个部位产生的应变是不相等的，并产生反作用力F（图1），于是有
(2)
可以写为(3) 在涂层形成一个很大的拉应力，同时，在基板上上产生一个对等的平衡的反作用力——压应力。
形成弯矩（banding moment）(4) 中性层δ1
(5)
Composite beam stiffness
(6)
平衡弯矩M1，产生曲率变化，κ1-κ0
(7)
通常，κ0可以处理为零。
如果涂层在凹面，则曲率是可以明确的。
图1的情况。
假设双向应力相等（σx =σz），厚度方向应力可以忽略（σy =0）。
由泊松效应（Poisson effect），σz将在x方向导致一个应变。
X方向的net应变可以写为
(8) 于是，x方向的应力应变关系可以表示为：
(9) Effective young’s modulus value.
由于仅考虑弹性状态，因此，基板内沿着厚度方向的应力变化应该是线性的，只需要计算基板的底部和顶部的应力即可。
从材料力学可以计算：
(10)
(11) 于是，可以得出涂层第一层中部的应力：
(12) 1.1.2 第二层
考虑在基板（镀层）上冲击形成第二层，如图2所示。
不等应变的大小与前面相同。
平衡应变改为：
(13) 该式中，F2是作用在前面的镀层与基板构成的复合板上的，其中性层δ1如图1所示。
这一层与基板具有相同的应变，E2e是等效杨氏模量：
(14) 代入上式，可以得到F2的表达式：
(15)
F2分摊在镀层第一层和基板中。
作用在基板上的力为：
(16)
同样，作用第一层镀层上的力为：
(17)
显然地，F2s和F2w都是压应力。
在镀层的第二层上存在与F2大小相等的拉应力。
大小相等方向相反的力对形成力矩M2：
(18)
平衡弯矩M2，产生曲率变化，κ2-κ1
(19)
组合板的硬度（强度）可以写为：
(20) 而且可以确定δ2为：
(21)
基板底部和顶部的应力可以写为：
(22) 和
(23)
镀层第一层中部（心）的应力变为：
(24)
镀层第二层中部（心）的应力可以计算为：
(25) 1.1.3 n th层的应力
上述的分析和计算可以扩展到n层。
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31) 运用式26-29可以估算第j层的应力。
用j代替各式中的n，j层中部（心）的应力为：
(32) 这里，1<j<n，其分布如图3所示。
实际上，并不需要使用w值等于实际的长板的厚度，例如在热喷涂时。
最终镀层厚度的任何方便的分数都可以应用。
（显然，镀层厚度h必须等于nw：一般取n为有理数，如10）从内应力，试样尺寸，泊松比和杨氏模量，就可以依式26-32计算镀覆时的应力。
可以编一个计算机小程序，以便节省计算的时间。
1.2 冷却过程中不同的热收缩
由于热喷涂层在冷却过程中不同的收缩导致的应力可以按下面的方法进行估算。
冷却最终的曲率用κc表示，κn表示最后一层完成但还没有开始冷却时的曲率。
（喷涂过程中的任何热的波动都被忽略）如果有了温度的降低，试样的尺寸，材料的泊松比、杨氏模量和热胀冷缩系数，就可以确定中部分应力。
可以按照1.1中的计算过程进行估算。
考虑两块板从无应力状态冷却∆T，则产生不适配的应变变量∆ε =（αs - αd）∆T。
假设这一应变在试样底部和顶部产生大小相等的反作用的平衡力F(CTE)，则在x轴上由力平衡（图4）可以得到：
（33）这两个力行成力矩M(CTE)。
为了平衡这一力矩，则有曲率变化κ2-κ1
（34）
(35)
在镀层表面会发生反向的曲率变化，凸更凸或凹变小。
如果αs >αd，∆α是确定的。
则在复合
板中的硬度为
(36)
δ是中性层（y c=0）到表面（y=0）的距离且等于δn。
当在涂层中时，δn是固定的，为：
（37）从式（34）和（35），可以得出F(CTE)的表达式：
（38）结合式（33）和式（36）-（38），曲率变化从应变变量∆ε增加到κc-κn，可以表示为：
（39）因而，可以从式（37）计算(CET)导致的应力：
（40a）
(40b)
(40c)
(40d)
(40e) 1.3 最终的应力水平
最终的基板底部和顶部的应力水平可以从式（30）和式（40e）或者（31）和（40d）来进行计算：
（41）和
（42）
对于涂层，j th层中部（心）的应力为：
（43）这里，1≤j≤n。
作为一个例子，n th层中部（心）的应力为：
（44）
2 模型的应用
一旦涂层性能和工艺参数被确定，这一模型就可以被直接来应用。
An analytical model for predicting residual stresses in progressively deposited coatings-Part 1: Planar geometry, Y C Tsui, T W Clyne, Thin Solid Film, 306(1997) 23-33。