用各向异性介质构造的一维光子晶体的特性分析Ξ武东升,刘 旭,李海峰(浙江大学光电系,浙江杭州310027) 摘要:本文根据单轴晶体的传输矩阵,研究了一种由各向异性介质周期排列构成的一维光子晶体,分析了在不同入射角度和折射率条件下,该周期结构的反射和偏振的光学特性。
分析结果表明,各向异性介质在折射率比值较大或与高折射率同性介质结合使用,可获得较宽的禁带,并可实现在可见光范围内的全偏振全角度反射。
关键词:各向异性介质;传输矩阵;一维光子晶体;光子禁带中图分类号:O734 文献标识码:A 文章编号:100520086(2002)0120046204Ana lysis of One-d i m en siona l Photon ic Crysta lM ade of Stra tif ied An isotrop-ic M ed i aW U Dong2sheng,L I U Xu,L I H ai2feng(D epartm en t of Op toelectron ics of Zhejiang U n iversity,H angzhou310027,Ch ina)Abstract:O n the base of tran s m itting m atrix of un iax ial an iso trop ic crystal,a k ind of one2di m en si onalpho ton ic crystal m ade of stratified an iso trop ic m edia is in troduced.W e analyse the op tical characteristicssuch as reflectivity and po larizati on of th is peri odic structu re in differen t inciden t tango s and refractivityconditi on s.In the end w e get the conclu si on that if the an iso trop ic m edia has a large rati o of refractivi2ties o r com b ined w ith h igh refractivity iso trop ic m edia,it m ay have a w ide band gap and reflect in all in2ciden t tango s and po larizati on conditi on s in the visib le ligh t range.Key words:U n iax ial an iso trop ic m edia;T ran s m itting m atrix;O ne2di m en si onal pho ton ic crystal;Pho2ton ic Band2gap(PBG)1 引 言 光子晶体是80年代末提出的新概念和新材料。
介质或金属材料在空间呈周期排列,某个频段的入射电磁波,在晶体中的光学状态密度(DO S,den sity of op tical states)可能会迅速衰减,导致无法传播,即形成光子禁带。
90年代末,美国的Yoel F ink等[1]把光子晶体的概念应用于一维周期排列,提出一维光子晶体全方位反射镜(om n idirecti onal reflecto r),引起了学术界极大的关注。
这种一维光子晶体全方位反射镜的每层介质都是由非晶态材料(非晶体)或晶态材料中的多晶体构成,介质内部均表现出各向同性。
各向异性的介质材料是否可以构成一维光子晶体并具有类似的禁带结构,迄今为止还未见相关的报道。
本文基于对单轴晶体的光学特性的研究,分析了各向异性的介质构成的周期结构。
该结构的每层介质都有一个光轴,与光轴垂直方向的折射率为n o;沿光轴方向的折射率为n e。
n o≠n e,即每一层都相当于一块单轴晶体,而相邻两层的光轴的夹角为90°(如图1所示)。
图1 各向异性介质的周期结构F ig.1 Per iod ic structure of un i ax i a l an isotrop ic m ed i a 光电子・激光 第13卷 第1期 2002年1月 Jou rnal of Op toelectron ics・L aser V o l.13 N o.1 Jan.2002Ξ收稿日期:2001206215 修订日期:2001209210 3基金项目:国家自然科学基金资助项目(60078001)。
2 理论分析 对于各向异性的介质,我们采用B errem an ’s 4×4矩阵法。
4×4矩阵法的核心是联系介质入射处和出射处的电场和磁场的切向分量的传输矩阵P 。
对于如图2所示的介质层,光轴与入射面(x 2z 平面)的夹角为Υ,则该介质层的传输矩阵为[2,3] P =Β0I +Β1∃+Β2∃2+Β3∃3(1)图2 介质层中的坐标关系F ig .2 Coord i na te rela tion i n the m ed i a layer 其中 ∃=∃11∃12∃130∃21∃11∃230∃34∃23∃13∃43(2)式中,∃11=∃13=0;∃12=1-X2Ε33;∃21=Ε⊥Ε∥-∃Εco s 2ΥΕ33;∃23=-Ε⊥∃Εsin Υco s ΥΕ33;∃34=1;∃43=Ε⊥Ε∥-∃Εsin 2ΥΕ33-X 2。
其中,Ε⊥=n 20;Ε∥=n 2e ;X =n 0sin Ηin ;Ε33=Ε⊥;∃Ε=Ε∥-Ε⊥。
Βi (i =0,1,2,3)是方程 exp (i k 0Κi h )=Β0+Β1Κi +Β2Κ2i +Β3Κ3i(3)的解。
其中k 0=Ξ c =2Π Κ0,Κ0是入射单色波的波长。
Κi (i =1,2,3,4)是∃的特征值, Κ1,2=±(Ε⊥-X 2)12 Κ3,4=±(Ε∥Ε⊥)12Ε33Ε33-1-∃ΕΕ∥co s 2ΥX 212(4)Βi (i =0,1,2,3)的解为 Β0=-64i =1Κj Κk Κlfiij ik il Β1=64i =1(Κj Κk +Κj Κl +Κk Κl )fiΚij Κik Κil(5) Β2=-64i =1(Κj +Κk +Κl )fiΚij Κik Κil Β3=-64i =1fiΚij Κik Κil其中,Κij =Κi -Κj ;f i =exp (i k 0Κi h );i ,j ,k ,l =1,2,3,4。
所有的i 、j 、k 和l 是相互不同的值。
当有不同下标的特征值有相同的值时,可用L ’Ho sp ital ’s 法则来确定Βi 的值。
这样我们就得到了4×4矩阵法在单轴晶体中的传输矩阵P 。
由多层各向异性膜组成的结构,可分别计算它们的传输矩阵P 1、P 2、P 3…,总的传输矩阵是各个矩阵的连乘[3] P =∏ni =1Pi(6) 有了膜系的传输矩阵,可以得到它的反射率[4,5]。
以7=[E x ,E y ,H x ,H y ]T 来表示磁场矢量,则7i 、7r 和7t 分别表示入射、反射和透射的电磁场矢量,70和71表示入射和出射介质内的电磁场矢量。
假定器件被夹在两种折射率分别为n 1和n 2的各向同性的介质中,系统的关系(见图3)为 7i +7r =70,7t =71,71=P 70(7)图3 入射、反射和透射矢量示意图F ig .3 Sketch map of i nc iden t ,ref lectedand tran s m itted vectors 在各向异性介质中,根据M axw ell 方程组和物质方程,可以得出E 和H 之间的关系。
这样我们就可以把7i 、7r 和7t 改写为(为便于标注,反射与透射的电场矢量用R 和T 表示): 7i =E xr x E x E y r y E y,7r =R xrx R x R y r y R y,7t =T xr ’x T x T y r ’y T y(8)式中,r x =n 1 co s Η1;r y =n 1co s Η1;r ’x =n 2 co s Η2;r ’y =n 2co s Η2。
其中,Η1为入射角;Η2=sin -1(n 1sin Η1 n 2)。
根据式(7)、(8),可得 T x =g 11E x +g 12R x +g 13E y +g 14R y・74・ 第1期 武东升等:用各向异性介质构造的一维光子晶体的特性分析 T x =g 21E x +g 22R x +g 23E y +g 24R y T y =g 31E x +g 32R x +g 33E y +g 34R y T y =g 41E x +g 42R x +g 43E y +g 44R y(9)其中,g 11=P 11+r x P 12,g 12=P 11-r x P 12,g 13=P 13+r x P 14,g 14=P 13-r x P 14g 21=P 21+r x P 22r ’x ,g 22=P 21-r x P 22r ’x ,g 23=P 23+r y P 24r ’x,g 24=P 23-r y P 24r ’xg 31=P 31+r x P 32,g 32=P 31-r x P 32,g 33=P 33+r y P 34,g 34=P 33-r y P 34g 41=P 41+r x P 42r ’y,g 42=P 41-r x P 42r ’y ,g 43=P 43+r y P 44r ’y ,g 44=P 43-r y P 44r ’y 解上面的方程组,就可以得到系统的反、透射系数:R x =r x x E x +r x y E yR y =r y x E x +r y y E y(10) T x =(g 11+g 12r x x +g 14r y x )E x +(g 13+g 12r x y +g 14r y y )E y T y =(g 31+g 32r x x +g 34r y x )E x +(g 33+g 32r x y +g 34r y y )E y (11)其中, r x x =Q -1[(g 21-g 11)(g 34-g 44)-(g 41-g 31)(g 14-g 24)] r x y =Q -1[(g 23-g 13)(g 34-g 44)-(g 43-g 33)(g 14-g 24)] r y x =Q -1[(g 12-g 22)(g 41-g 31)-(g 32-g 42)(g 21-g 11)] r y y =Q -1[(g 12-g 22)(g 43-g 33)-(g 32-g 42)(g 23-g 13)] Q =(g 12-g 22)(g 34-g 44)-(g 32-g 42)(g 14-g 24)]3 计算结果 针对图1所示的周期结构用上面各式计算反射系数。