这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本
，在
会有一收益
，财富的回报率为 ，不过，此刻有一半的财富会被没收。
此时的效用收益为 费路径来说，必须满足下列条件：
。总之，对于效用最大化的消
在
时，有下式：
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收 前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低Hale Waihona Puke 费。，同时厂商受到生产函数
的约束。这是一个典型的最优化问
题。
构造拉格朗日函数： 求一阶导数：
得到：
上式潜在地决定了最佳资本 k 的选择。很明显，k 的选择独立于 Y。 上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比， 这便是成本最小化条件。 （b）因为每个厂商拥有同样的 k 和 A，则 N 个成本最小化厂商的总产量为：
（d）在平衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：
因为 k 保持不变，即 知：
，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（1）可
由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为： （3）
对方程（3）两边关于 g 求导数，可得：
可以再简化为：
（4）
由于 由
决定，对该式两边关于 g 求导数，可得：
，从而求出 为：
（a）考虑厂商生产 Y 单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的 k 值唯一确定并独立于 Y，并由此证明所有厂商都选择相同的 k 值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入 是上述 N 个厂商的总和，证明其产出也等于述 N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要求是厂商选择资本 K 和有效劳动 AL 以最小化成本
上式可以简化为：
（7）
对方程（7）两边取指数，可得： 下面求解初始消费，将方程（8）代入（2），可得：
，整理得： （8）
将 只要
代入上式，可得：
（9）
，从而保证积分收敛，则求解方程（9）可得：
（10）
将方程（10）代入（9）中，求解 ：
（11）
将方程（11）代入（8），求解 ： 上式便是 C 的效用最大化路径。
2.7 说明下列变化如何影响图 2.5 中的
线和
说明其如何影响平衡增长路径上的 c 值和 k 值。
（a） 上升
（b）生产函数向下移动。 （c）折旧率由本章中假设的零变为某一正值。
线，并在此基础上
图 2-2 鞍点路径
答：（a）关于 c 与 k 的欧拉方程为：
（1）
（2）
的上升即消费的跨期替代弹性 下降，表明家庭不太愿意接受消费的跨 期替代，同时表明随着消费的上升，消费的边际产品下降得很快。这种情况使家 庭更偏好于即期消费。
（e）设生产函数是柯布—道格拉斯函数
，请用 、n、g、θ和
α重新表示（d）中的结果。（提示：利用等式
。）
答：（a）关于资本的欧拉方程为： （1）
该方程描述了资本的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了技术特征， 是该模型的核心，它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决 定了该模型的最终解。
（3） （4）
定义
和
和（4）重写为：
，因为 和 为常数，所以 且 ，将（3）
（5） （6）
对方程（1）和（2）计算偏导数：
（7） （8）
（9） （10）
将方程（7）和（8）代入（5），将方程（9）和（10）代入（6），可得： （11）
（12）
方程（12）的第二步用到了
，第三步用到了定义
。
对方程（11）除以 以求 的增长率，对方程（12）除以 以求 的增长率： （13）
（5）
将方程（5）代入（4）中，可得：
（6）
在方程（6）中，分母
为负，分子中第一项为正，而第二项
为负，因而无法确定正与负。因此，无法判断在平衡增长路径上 g 永久性地下降 会使 s 上升还是下降。
（e）将柯布—道格拉斯生产函数
，
和
代入方程（6）中，可得： 简化为： 从上式可以推出： 最终有下面的结果：
（14）
因此，初始消费为：
（9）
个人的初始财富为 ，方程（9）说明消费是初始财富的一个不变的比例。 为个人的财富边际消费倾向。可以看出，这个财富边际消费倾向在平衡
增长路径上是独立于利率的。对于折现率 而言， 越大，家庭越厌恶风险，越 会选择多消费。
2.5 设想某家庭的效用函数由（2.1）~（2.2）式给定。假设实际利率不变， 令 W 表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值[(2.6)的右端]。已知 r、W 和 效用函数中的各参数，求 C 的效用最大化路径。
收入现值、 以及效用函数各参数的函数。
答： 本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。
令 建立拉格朗日方程：
求一阶条件：
抵消 项得：
可以推出： 将其代入预算约束方程，得：
将
代入上式，得：
只要
，则积分项收敛，为
将方程（7）代入（4）：
，则：
2.1 2.6 （1） （2）
（3） （4） （5） （6） （7） （8）
向上移动得更大。图 2-1 是该模型的图示。
（b）每单位有效劳动消费的欧拉方程为：
（2）
该方程描述了消费的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了偏好特征， 是该模型的核心，它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决 定了该模型的最终解。
在平衡增长路径上，要求
，即
，在 g 永久性地下降时，
（12）
2.6 生产力增长减速与储蓄。设想一个正处于平衡增长路径上的拉姆塞— 卡斯—库普曼期模型，假设 g 永久性下降。
（a） 曲线会如何变化（如果有影响）？
（b） 曲线会如何变化（如果有影响）？
（c）当 g 下降时，c 如何变化？ （d）用一个式子表示 g 的边际变化对平衡增长路径上储蓄率的影响。能否 判断此表达式的正负？
（8） （9）
因此， 越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
2.3 （a）假设事先知道在某一时刻 ，政府会没收每个家庭当时所拥有财 富的一半。那么，消费是否会在时刻 发生突然变化？为什么？（如果会的话，
请说明时刻 前后消费之间的关系。） （b）假设事先知道，在某一时刻 ，政府会没收每个家庭当时所拥有的部
为 N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的 A 并且选择相同数量的 k， k 的决定独立于 Y 的选择。因此，如果单一厂商拥有 的劳动人数，则它也会生
产
的产量。这恰好是 N 个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想某个人只活两 期，其效用函数由方程（2.43）给定。令 和 分别表示消费品在这两期中的价
格，W 表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：
（a）已知 和 和 W，则此人效用最大化的 和 是多少？ （b）两期消费之间的替代弹性为
，或
。证明，
若效用函数为（2.43）式，是则 与 之间的替代弹性为 。
答：（a）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）
求解约束条件： 将方程（3）代入（1）中，可得：
为保持 ， 必须下降。由于
，因而 下降必然导致 k 上升。
因此， 必须上升，在图形上表现为 向右移动，如图 2-1 所示。 （c）在 g 永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资
决定的，因而不会发生不连续的变化。它仍然保持在平衡增长路径 处。 与此相反，每单位有效劳动的消费则会随着 g 永久性地下降而迅速变化。为
这便要求增加储蓄或者投资，从而降低消费。由于持平投资变大，因此
会向下移动，如图 2-7 所示。
图 2-7 折旧率由 0 变为正数的影响
资本的回报也下降为：
，从而消费的欧拉方程变为：
（4）
在平衡增长路径上， 要求
。与折旧率 由 0 变为
正数之前相比较， 必须变大，从而 k 必须变小。由于 k 必须变小，这便要求
2.1
2.2
答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：
（1）
（2）
W 代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率 r 是常数。 建立拉格朗日方程如下：
求一阶条件，可得：
抵消
，得：
两边对时间 t 求导，可得：
（3）
得到下面的方程： 将方程（3）代入（4），可得：
（4）
抵消
然后求消费的增长率 ，可得：
分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在 时刻 发生突然变化？为什么？(如果会，请说明时刻 前后消费之间的关系。)
答：（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期 内，从
到
。
考虑家庭在
时期减少每单位有效劳动的消费为
。然后他在
投资并消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的
持不变。因此 向左移动，如图 2-5 所示。经济最终将收敛到新的均衡点
点，此刻 和 低于原先的值。
图 2-5 生产函数向下移动的影响
（c）由于折旧率δ由 0 变为正数，因而资本的欧拉方程变为： （3）
由于折旧率δ由 0 变为正数，因此持平投资变大，持平投资线向左上移动， 如图 2-6 所示。
图 2-6 持平投资线向左移动
（5）
由于利率 r 是常数，所以消费的增长率为常数。如果
，则市场利率超
过贴现率，则消费会增加；反之，如果
，则市场利率小于贴现率，则消费
会减少。如果
，则 决定了消费增长的幅度。 值越低，也就是替代弹性
越高， 越高，即消费增长的越快。 重写方程（5），得：
（6）
对方程（6）积分，积分区间是从时间τ=0 到时间τ=t，可得：