nn n nn1 n ... n3 n n2 n
二 .(10
a11x1 a12x2 ... a1n xn 0
分
)
证
明
：
方
程组
a21x1
a22x2 ... ............
a2n xn
0 (1)
的解全是方程
as1x1 as2x2 ... asn xn 0
b1x1 b2x2 ... bnxn 0(2) 的解的充分必要条件是： (b1,b2...,bn ) 可由向量组
5
n 五（20 分）设 A 是 阶方阵，证明：
（1）A 的特征多项式 f (x) 与 A 的最小多项式 m(x) 的根相同。 （2）若 A 的特征根互异，则 m(x) f (x) 。
六（20 分）设 V 是数域 F 上任一线性空间，A 是 V 上一个线性变换， F[x] 是数
域 F 上一元多项式的集合。
五（15 分）A 为 n 阶方阵， f () | E A | 是 A 的特殊多项式。并令
g() f () , （ f ()' 称为 f () 的一阶微商）。
( f (), f ()')
证明：A 与一个对角矩阵相似的充要条件是 g(A) 0. 。
3
n 六（15 分）假设 A 是 维欧氏空间 V 的线性变换，* 是同一空间 V 的变换。且
对 , V , 有 (, ) (, * ).
证明：1 * 是线性变换。 2 的核等于 * 的值域的正交补。
七（15 分）证明：任意方阵可表为两个对称方阵之积，其中一个是非奇异的。
八（15 分）设 f(x)为数域 P 上多项式，且有 f (x) f1(x)f2(x), ( f1(x), f2(x)) 1.
证明：设 d(x) 是 f (x), g(x) 的最大公因式， f (x), g(x) F[x], 则
ker d() ker f () ker g(), 其中 ker 是 的核。
n 七（20 分）设 维欧氏空间 V 的线性变换 满足 3 0.
证明： 的迹（即 在 V 的某一基下对应矩阵的迹数）等于零。
在有理数域上不可约。
1 x 1
0 0 0
三（15
分）设
A
x 1
1 y
y 1
与
B
0 0
1 0
0
相似，
2
（1）求 x, y 的值。
（2）求一个正交矩阵 T，使T 1AT T 'AT B
四（15 分）设 A 是实矩阵， ' 是 A 的转置矩阵，求证： （1） ' 与 A 的秩相等。 （2）当 A 是满秩时， ' 是正定的。
又设 D 为 P 上 N 维线性空间。 为 V 的一个线性变换。K 为 f () 的核，1 为 f1() 的核， 2 为 f2 () 的核。
证明： K 1 2.
n n 九（15 分）设 a b 1 是 阶实方阵 A 的任一特征值。a,b 是实数。如 ' 的
个特征值是
1,
2 , ...,
n
。证明：必有
1,2...,s 线性表示，其中i (i1,i2,...,in )(i 1, 2,..., s).
三（15 分）设 f (x) x3 ax2 bx c 是整系数多项式，证明：若 ac+bc 为奇数， 则 f(x)在有理数域上不可约.
四（15 分）设 A 是非奇异实对称矩阵，B 是反对称实方阵。且 AB=BA。证明：A+B 必是非奇异的。
华东师范大学 1997 年攻读硕士学位研究生入学试题
一.（10 分）计算下列行列式：
1
1 ... 1
x1(x1 1) x2(x2 1) ... xn(xn 1)
x12(x1 1) x22(x2 1) ... xn2(xn 1)
x1n1(x1 1) x2n1(x2 1) ... xnn1(xn 1)
5 2 0 0
1 2
min i
i
a
1 2
max i
i
（'是来自A的转置矩阵）。
4
华东师范大学 1999 年攻读硕士学位研究生入学试题
一（15 分）计算行列式：
n 1 n2 n3
1 0
n2 n3 n4
0 1
3 2 1 n5 n4
2 1 0 n4 n3
1 0 1 n3 n2
0 1 2 n2 n 1
二（15 分）设 P 是一个素数，多项式 f (x) xp1 xp2 ... x 1.证明： f (x)
九.（15 分）设 A，B 均是正定矩阵，证明： 1 .方程 A B 0 的根均大于 0；
2 .方程 A B 0 所有根等于 1 A=B.
2
华东师范大学 1998 年攻读硕士学位研究生入学试题
一.（10 分）计算下列行列式:
2n 2 2n1 2 ... 23 2 2 3n 3 3n1 3 ... 33 3 6
2.方程组
A
x1 x2
0 0
的解.
x3 1
1
五.（15 分）证明：一个非零复数 是某一有理系数非零多项式的根 存在一 个有理系数多项式 f (x) 使得 1 f ( ).
六.（15 分）设 A 是 n 阶反对称阵。证明： 1.当 n 为奇数时|A|=0.当 n 为偶数时|A|是一实数的完全平方; 2.A 的秩为偶数 .
二.（15
分）设
A
2 0
0 0
0
0
，求正交矩阵
T，使T ' AT
T
1 AT
为对角形
5 2
0
0
2
2
矩阵，并写出这个对角形矩阵.
2 0 0
三.(15
分)设
A
a b
2 c
01 是复矩阵.
1.求出 A 的一切可能的 Jordan 标准形；
2.给出 A 可对角化的一个充要条件.
四.(15 分)已知 3 阶实数矩阵 A (aij ) 满足条件 aij Aij (i, j 1, 2,3) ，其中 Aij 是 aij 的代数余子式，且 a33 1，求： 1. A
6
华东师范大学 2000 年攻读硕士学位研究生入学试题
一（15 分）已知下列非齐次线性方程组（1）（2）
七.（15 分）设 V 是有限维欧氏空间.内积记为 ( , ) .又 设是 V 的一个正交变
换。记V1 | , V,V2 | V ，求证：
1.V1,V2 是 v 的子空间; 2. V V1 V2.
八.（15 分）设 n 阶实数方阵的特征值全是实数且 A 的所有 1 阶主子式之和为 0， 2 阶主子式之和也为 0.求证： An 0