华东师范大学 1997 年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目：数学分析
一、 （12 分）设 f ( x) 是区间 I 上的连续函数. 证明：若 f ( x) 为一一映射，则 f ( x) 在 区间 I 上严格单调.
二、 （12 分）设
⎧1, x为有理数 D ( x) = ⎨ ⎩0， x为无理数
证明：若 f ( x) ， D ( x) f ( x) 在点 x = 0 处都可导，且 f (0) = 0 ，则 f '(0) = 0.
n =1
n =1
n
∞
2) 证明： ∑ 2n sin
n =1
1 在 (0, +∞) 上处处收敛，而不一致收敛. 3n x
11
四、 （ 12 分）设 D : x 2 + y 2 + z 2 ≤ t2 ， F (t ) = ∫∫∫ f ( x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz ，其中 f 为连
八、 （15 分）设 n 阶实数方阵 A 的特征值全是实数且 A 的所有 1阶主子式之和为 0 ，
2 阶主子式之和也为 0 .求证： An = 0.
九、 （15 分）设 A ， B 均是正定矩阵，证明： 1 ) 方程 λ A − B = 0 的根均大于 0 ； 2 ) 方程 λ A − B = 0 所有根等于 1 ⇔ A = B.
七、 （15 分）设 V 是有限维欧氏空间 .内积记为 (α , β ) .又A设是 V 的一个正交变换。 记 V1 = {α | A α = α ,α ∈V } , V2 = {α − A α | α ∈V } . 求证：1) V1 , V2 是 v 的子空间; 2) V = V1 ⊕ V2 .
8
n =1
2
五、 （20 分） 设方程 F ( x, y ) = 0 满足隐函数定理条件， 并由此确定了隐函数 y = f ( x) ， 又设 F ( x, y ) 具有连续的二阶偏导数. 1) 求 f ′′( x ) ； 2) 若 F ( x0 , y0 ) = 0, y0 = f ( x0 ) 为 f ( x) 的一个极值. 试证明：i)当 Fy ( x0 , y0 ) 与 Fxx ( x0 , y0 ) 同号时， f ( x0 ) 为极大值； ii)当 Fy ( x0 , y0 ) 与 Fxx ( x0 , y0 ) 异号时， f ( x0 ) 为极小值. 3) 对方程 x 2 + xy + y 2 = 27 ，在隐函数形式下（不解出 y ）求 y = f ( x) 的极值，并用 2)的结论判别极大或极小值.
1) 求出 A 的一切可能的 Jordan 标准形； 2) 给出 A 可对角化的一个充要条件.
6
四、(15 分)已知 3 阶实数矩阵 A = ( aij ) 满足条件 aij = Aij (i , j = 1, 2,3) ，其中 Aij 是 aij 的 代数余子式，且 a33 = −1 ，求： 1) A
弦.
4
华东师范大学 1997 年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目：高等代数
一、 （10 分）计算下列行列式：
1
1
...
1
x1( x1 −1) x2 ( x2 − 1) ... xn ( xn −1) 2 2 x12 (x1 −1) x2 (x2 −1) ... xn (xn −1) . ⋮ ⋮ ⋮ n−1 n−1 n−1 x1 (x1 −1) x2 (x2 −1) ... xn (xn −1)
1
三、 （16 分）考察函数 f ( x) = x ln x 的凸性，并由此证明不等式：
a abb ≥ (ab)
a +b 2
(a > 0, b > 0).
∞n n 收敛，试就 ∑ d n 为正项级数和一般项级数两种情况分
n =1 n =1
∞
别证明 ∑ an n + n 也收敛.
⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2) 方程组 A x2 = 0 的解. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜1⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠
五、 （ 15 分）证明：一个非零复数 α 是某一有理系数非零多项式的根的充要条件是 1 存在一个有理系数多项式 f ( x) 使得 = f (α ).
α
7
六、 （15 分）设 A 是 n 阶反对称阵. 证明： 1) 当 n 为奇数时 A = 0 . 当 n 为偶数时 A 是一实数的完全平方; 2) A 的秩为偶数.
9
华东师范大学 1998 年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目：数学分析
一、简答题（20 分） 1) 用定义验证： lim
3n 2 + 2 3 = . 2 n →∞ 2n + n + 1 2
⎧cos x, 2) 已知 f ( x) = ⎨ 2 ⎩ ln(1 + x ),
x<0 ，求 f ′( x). x≥0
3) 计算不定积分 ∫
x3
1 + x2
dx.
10
π
二、 （12 分）设 f ( x) 有连续的二阶导函数，且 f (π ) = 2 ， ∫ [ f ( x) + f ′′( x)]sin xdx = 5 ，
0
求 f (0).
三、 （20 分）
∞ ∞ 1 1) 已知 ∑ an 为发散的一般项级数，试证明 ∑ (1 + ) an 也是发散级数；
5
⎛ 5 −2 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ −2 0 0 0 ⎟ ⎜ 二、 （15 分）设 A = ，求正交矩阵 T ，使 T ' AT = T −1 AT 为对角形 ⎜ 0 0 5 −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 −2 2 ⎠ 矩阵，并写出这个对角形矩阵.
⎛2 0 0 ⎞ ⎟ 三、(15 分)设 A = ⎜ ⎜ a 2 0 ⎟ 是复矩阵. ⎜ b c −1 ⎟ ⎝ ⎠
3
六、 （12 分）改变累次积分
I = ∫ dx ∫4 x −8 ( y − 4) dy
2
4
4 x − 20
x
的积分次序，并求其值.
七、 （ 12 分 ） 计 算曲 面 积 分 I = ∫∫ ( x 2 cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ )ds 其 中 s 为 锥 面
s
z = x 2 + y 2 上介于 0 ≤ z ≤ h 的一块， {cos α , cos β , cosγ } 为 s 的下侧法向的方向余