t0
t
1(t T )
1(t T )
1 t 0
0
1
t0
T
t
H (t ) 1(t ) 1(t T )
零阶保持器的频谱
由于
H (t ) 1(t ) 1(t T )
1 e jwT H ( jw ) jw
1 e ST H (S ) S 频谱特性如下：
3、常用函数的Z变换与拉氏变换表： x (t ) X (s )
1 s
X (z )
z z 1
1(t )
1
1 s2 1 sa
a s( s a )
(t )
1
Tz ( z 1) 2 z z e aT
(1 e aT ) z ( z 1)( z e aT ) z za
k 0 k 0
z 1 Tz T ＝ 1 2 (1 z ） ( z 1) 2
例题2.3
s 已知F ( s) ，求它对应的z变换式F ( z ) s( s a)
z 注意 : F ( z ) z ( z a)
s 1 1 F ( s) s( s a) s s a
2将
f (t ) f (t ) (t kT ) 进行拉氏变换得
k
k
1 F ( s jk ) F ( s) s T k

3 进一步求得f (t)的付氏变换
＊
1 F ( j jk ) F ( j ) s T k

4 可知，f ＊ (t)的付氏变换使f (t)的付氏变换以s为周期的延拓。 5 f ＊ (t)的主辅频谱不产生混叠的条件是 s 2 max
第二章 离散系统分析数学基础
湖南大学机械与汽车工程学院
◆ 计算机控制系统的信号变换
△ 计算机获取和输出信息的过程。
连续模拟 离散模拟 离散数字 离散数字 离散模拟 连续模拟 连续模拟
采样器
A/D
CPU
D/A
A/D
保持器 采样器
被控对象
离散数字
离散模拟
△ 采样器和A/D转换器的功能由输入通道完成；D/A转换器 和保持器的功能由输出通道的模拟输出部件来完成。 △ 采样器、保持器和作为控制的计算机的结构形式和控制规 律决定着控制系统的稳态特性和动态特性。 △ A/D和D/A只起信号的测量和转换作用，其分辨率在很大 程度上决定系统的稳态精度，但对系统的动态特性影响不大。
理想滤波器
2 奈奎斯特频率 3 假频频率
定义：0 = s - 1为假频 频率
-2s
-s
-s/2
0
s/2
s

定义N = s /2为奈奎斯特频率
|F＊(j)|
0
-s
0
1
s
2s
第二章 离散系统分析数学基础
湖南大学机械与汽车工程学院
△ 假频现象及前置滤波
图中表示用1Hz的采样 频率图中的两个频率分别为 1/8和7/8的正玄信号时，他们 具有完全相同的采样值，仅 根据采样值无法区别它们， 若频率为7/8的信号为原信号， 则假频频率为1-7/8=1/8。
H ( jw )
T
ws
2ws
3ws
4ws
5ws
w
argH ( jw)
第二节 z 变换
连续控制系统 离散控制系统 时域法 频域法 时域法 频域法
方法
描述 手段
数学 工具
微分方程 传递函 差分方 脉冲传 数 程 递函数 拉氏变换 拉氏变 Z变换 Z变换 换
离散系统与连续系统比较
1、z变换的定义
对采样函数进行拉氏变换
第六章 离散系统的数学分析基础 由于计算机只能处理数字量，而被 控量一般为模拟量。因此，为了实现 计算机控制就必须要进行数字信号 模拟信号的转换。即 连续信号离散化：采样量化，A/D转 化 离散信号连续化：D/A转化，保持器
第二章 离散系统分析数学基础
湖南大学机械与汽车工程学院
第一节 采样与保持
◆有关信号几个概念
(a) 连续时间信号 (b) 离散模拟信号（采样信号） (c) 连续时间量化信号
(d) 离散数字信号
f(t) f(t) f(t) f(t)
0
t
(a)
0
(b)
t
0
(c)
t
0
(d)
t
第二章 离散系统分析数学基础
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◆ 采样与保持
△ 采样：把时间上连续的信号转换成时间上离散的脉冲或 数字序列的过程。 △ 保持：将离散的采样信号恢复到原连续信号的过程。
j
s平面
Im
z平面

0
Re
1
2、Z变换性质： ⑴线性性质：Z[x1 (t ) x2 (t )] X 1 ( z ) X 2 ( z ) ⑵超前定理：Z [ x( t mT )] z m X ( z ) z m x( kT ) z k
k 0
m ⑶滞后定理： Z[ x( t mT )] z X ( z )

利用部分分式法求解
f (t ) 1(t ) e at
1 1 e aT z 1 z z e aT
Z (e at ) e akT z k (e aT z 1 ) k
k 0 k 0
Z [1(t )]
z z 1
z z z (1 e aT ) F ( z) aT z 1 z e ( z 1)( z e aT )
二、延迟定理
若Z [ f (t )] F ( z )，则Z [ f (t nT )] z n F ( z )


一般采样函数的变量直接用k表示： f (k ) f (kT), 记为f k
F ( z )＝ f (kT) z
k 0 k
f (k ) z
k 0
k
f k z k
k 0
2、必须强调的几点
1、z变换是对f (t )的拉氏变换，对f (t )进行z变换是 指对f (t )进行z变换。对F ( z )的z变换是指对它的原 函数f (t )的f (t )作z变换。
对于具有有限频谱（ max ）的连续信号f(t)进行连 续采样，若采样频率满足 s 2 max ，则采样函数f ＊ (t) 能无失真地复现原来的连续信号f (t)。 △定理推导： 1 e jk t 1 将单位脉冲序列展开成付立叶级数得 (t kT ) T
s
k
2、F ( z )＝ f (k ) z k f (0) f (1) z 1 f (2) z 1
k 0
f (k )决定幅值，z k 决定时间，可见z变换和离散序列 之间有着明确的幅值和定时关系。
3、不能直接用z代替s，来求解z变换
2、必须强调的几点
4、F ( z ) 不唯一 f (t )
△ 用理想单位脉冲描述实际采 样过程的理论依据。
通常，脉冲的频谱很宽，而采 样对象的频带则很窄，在采样 对象的通频带内，实际脉冲和 脉冲的频谱几乎相同，即均 近似等于脉冲冲量。
1
c
b
a
0
1
2
3
4
5

第二章 离散系统分析数学基础
湖南大学机械与汽车工程学院
3 采样定理
△采样周期T对采样信号的影响：
k 0


Z [1(t )] z
k 0
k
1 z z
1
2
1 z z 1 1 z z 1
3
例题2.2
求f(t)=t, 的z变换。t<0时，f(t)=0。
用定义求解
解：
F ( z ) f (kT) z k kTzk T ( z 1 2 z 2 3z 3 )
1
2
3 4
5
6
7
8
实际信号往往具有无限频谱，由于假频效应，高频成 分在离散域中有可能以低频成分出现。
在工程中，消除假频现象的方法是在采样前设置前置 滤波器对模拟信号进行滤波，使滤波器的输出信号不含有 高于s/2的分量。
信号恢复
通过一个滤波器，将离散的采样信号恢复到原 连续信号。
f (t ) (非周期 ) 采样
z
⑻时间反转： Z { x( n)} X ( z 1 )
⑼时移性质： Z { x( n n0 )} z n X ( z )
0
一、线性性质
对于任意常数a、b， 若Z [ f1 (t )] F1 ( z )，Z [ f 2 (t )] F2 ( z )
则：Z [af1 (t ) bf2 (t )] aF ( z ) bF2 ( z ) 1
f (t )
k k

f (k T) (t k T)

则
F ( s)＝ f (kT)e kTs
k 0

令e Ts＝z
F ( z )＝ f (kT) z k
k 0
F ( z )是f (t )的z变换，记作：F ( z )＝Z f (t )

唯一
z变换对应唯一的采样函数，但并不对应唯一的连续函数
g (t )
f (t )
但是f (t ) g (t )，即采样函数相等
T
2T
t
3、z变换的方法
直接利用定义（级数求和）
部分分式法 留数法
例题2.1
求1(t)的z变换
用定义求解
解：
1 (t ) (t kT)
对一个连续时间信号进行采样时， 1. 如果采样周期足够小，则经采样后原来连续信号的特征可 以完整地保留下来。 2. 如果采样周期太大，那么原信号的许多信息就可能丧失。 f(t) f＊ (t) T