• 一般的求解方法有留数定理法、长除法、部分分式法。 • 长除法原理是将 F(������) 展开成关于 ������ 的负幂项的降幂排列；值得注意的是，
这里项数有无穷多项。一般会根据要求近似取前若干项。
• 部分分式法要求将F(������)进行部分分式化简，化成若干真分式和整式之和
的形式，根据Z变换对照表和性质直接写出原函数。
������ℎ ������������ =
零阶保持器具有良好的低通特性。
离散控制系统数学处理基础
• 根据线性系统分析，从时域上，描述离散系统使用差分方程；从复数域
上描述，则需用采取“Z变换”分析。这是解析法。
• 根据DSP知识，可以使用动态结构框图或信号流图描述离散时间系统。
这是结构分析法。
• 在控制系统中，引入脉冲传递函数，根据脉冲传函来确定控制系统的性
采样定理
• • •
据DSP原理，对于一个时域上的模拟信号采样，在频谱上即可看作将源信号频 谱以采样频率为单位移位进行周期延拓。 对于采样信号，实际中更关注信号复现的效果，一般采取低通滤波的办法得 到原信号的基波成分。为获得原信号，在频域上频谱延拓应在不对基波频率 产生混叠。因此，对采样频率有一定要求。 香浓（Shannon）采样定理：
离散控制系统
采样控制系统——框图 数字控制系统——框图
信号采样与复现
• 定义：
采样：系统将连续的模拟量转化为离散量的信号传输过程。 复现：系统对D/A转换装置输出的瞬间模拟量经“保持器”连续化。
• 实现方式：
采样：采样开关电路控制；A/D转换器。 复现：零阶保持器。
信号的频谱
• 信号的频谱是指时域信号的傅里叶级数各次谐波幅值在频率轴上的分布
能指标和特点。
Z变换
• •
Z变换是离散拉普拉斯变换的另一种表现形式。 在采样函数������ ∗ (������)的拉氏变换������ ∗ (������)中，令：������ = ������ ������������ 可得：
∞
������ ������ = ෍ ������ ������������ ������ −������
离散控制系统的 基本概念和数学基础
151143401 陈嘉铭
内容提要
• 1、离散控制系统的基本概念 • 2、信号的采样与复现 • 3、离散系统的数学模型
离散控制系统
• 定义：
离散控制系统是指信号在传输过程中存在着间歇采样、脉冲序列等离散时间信
号传输的控制系统。
• 分类：
1、采样控制系统——解决暂态性能与控制精度间矛盾的断续控制系统 2、数字控制系统——以微处理器或计算机为控制器控制连续状态受控对象系统
脉冲传递函数
• 线性采样系统初始条件为零时,系统输出信号的z变换与输入信号的z变换
之比,称为线性采样系统的脉冲传递函数,或简称为z传递函数。
• 实际采样系统的输出信号通常是连续信号,为了应用脉冲传递函数概念,
可在系统的输出端虚设一个同步采样开关,使输出成为采样信号。
串联环节的脉冲传函
• 两环节间没有采样开关时： • 两环节间有采样开关时：
差分方程
• •
描述离散系统，通常使用差分方程。解方程有时域和复数域两类解法。 时域解法： 迭代法—— 根据已知值，选定起始迭代时刻，开始逐次迭代。 缺点：没有闭合表达式，无法分析信号或系统的性质。
•
复数域解法： Z变换法——
差分方程两边取Z变换，将原方程转化为Z域的代数方程，求得象函数， 反变换既得原函数。
致谢
• 由衷地感谢中国民航大学王坤老师的耐心指导。感谢组员段少雄同学的
帮助完成“z变换对照表”录入。感谢组员初麟希、邓轶骅两位同按时 休息，从而维持了安静的制作环境。
• 根据零阶保持器的时域函数表达式：
零阶保持器的频率特性
• 设������ = 0时刻输入为理想单位脉冲������(������)，一个周期内的输出值进行傅里叶
变换，既得采样频率表示：
������ sin[( )������] −������������( ) 2������ ������������ ������ ������ ������ ������ ������������ ( )������ ������������ ������
•
工程上，一般取：
信号的复现
• 一般的，采用外推法进行插值，以此来达到使信号连续化的目的，获得
连续信号。
• 外推插值一般称为“保持器”，数学表达式： • 当������ = 0，称“零阶保持器”，当∆������ = 0，有������
������������ = ������0 ，代入上式：
零阶保持器的时域特性
含有零阶保持器的脉冲传函
离散系统的闭环传函
• 闭环结构图：
• 闭环脉冲传函：
参考文献
• [1] 任彦硕. 自动控制原理 [M]. 北京：机械工业出版社，2007. • [2] 黄家英. 自动控制原理 (上下) [M]. 2版. 北京：高等教育出版社，2010. • [3] 胡寿松. 自动控制原理 [M]. 6版. 北京：科学出版社，2013. • [4] 王诗宓 等. 自动控制理论例题习题集 . 北京：清华大学出版社，2005. • [5] 王世一. 数字信号处理(修订版)[M]. 北京理工大学出版社, 2006. • [6] 郑君里 等. 信号与系统(第二版)[M]. 高等教育出版社, 2000.
谱。其中：周期函数的频谱是离散的。非周期连续函数的频谱是连续周 期性的。
• 对于一般的周期函数：
可以展开成傅里叶级数： （1）
其中：
信号的采样
• 连续信号������(������)经闭合时间为的 ������ 开关������按周期������采样。 • 在理想采样的情况下：
此时相当于获得信号：
其中：
化简可得：
（2）
采样函数的频谱
• 将采样函数（2）式根据傅里叶级数定义展开成（1）式： • 取L������������������������������������. ������������������������������.可得： • 取������ = ������������可得傅里叶变换：
2
3 4 5 6 7
1（t）
t ������ −������������ sin ������������ cos ������������ ������������ （k=0，1，2，…）
逆Z变换
• 从复变函数的角度出发，逆Z变换是求复变函数F(������)是它的奇点处的环
路积分，根据留数定理，也就是求复变函数的留数。
������=0
以上即为Z变换表达式。
•
一般的，可以通过级数求和、部分分式合并化简两种方法求得变换结果。
Z变换性质
• 线性： • 复位移： • 初值定理：
• 时移：
• 终值定理：（终值存在）
Z变换对照表
序号 1 原函数 δ（t） 拉氏���� 1 ������ 2 1 ������ + ������ ������ ������ 2 + ������ 2 ������ ������ 2 + ������ 2 ������变换������（������） 1 ������ ������ − 1 ������������ (������ − 1)2 ������ ������ − ������ −������������ ������ sin ������������ ������ 2 − 2������ cos ������������ + 1 ������（������ − cos ������������ ） ������ 2 − 2������ cos ������������ + 1 ������ ������ − ������