七年级一元一次方程解应用题2017.12.16数学是一门具有广泛应用性的科学, 我国著名数学家华罗庚先生曾说过: “宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学”.数学应用题的类型很多, 比较简单的是方程应用题, 又以一元一次方程应用题最为基础 , 方程应用题种类繁多, 以行程问题最为有趣而又多变.行程问题的三要素是: 距离 (s) 、速度 (v) 、时间 (t),?行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题; 按运动路线可分为直线形问题、环形问题等.熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础；而恰当设元、恰当借助直线图辅助分析是解行程问题的技巧.例题求解【例 1】某人乘船由 A 地顺流而下到 B 地 , 然后又逆流而上到 C 地, 共乘船 4 小时 , 已知船在静水中的速度为每小时7.5 千米 , 水流速度为每小时 2.5 千米 , 若 A、 C 两地的距离为10 千米 , 则 A、 B 两地的距离为 _____千米 .思路点拨等量关系明显 , 关键是考虑 C 地所处的位置 .解 :20 或20提示 :C 可在 AB之间或 AB之外D 3甲 A【例 2】如图 , 某人沿着边长为90 米的正方形 , 按 A→ B→ C→D→ A⋯⋯方向 ,? 甲以 A 以 64 米/ 分的速度 , 乙从 B以 72 米/ 分的速度行走 , 当乙第一次追上甲时在正方形的 (? ).A.AB 边上B.DA边上BCC.BC边上D.CD边上乙思路点拨本例是一个特殊的环形的追及问题, 注意甲实际在乙的前面3× 90=270( 米 ) 处 .解:选B提示 : 乙第一次追上甲用了270分钟 ,72 ×270=7× 360+26×90 777【例 3】父亲和儿子在100 米的跑道上进行赛跑, 已知儿子跑 5 步的时间父亲能跑 6步 , 儿子跑 7 步的距离与父亲跑 4 步的距离相等 . 现在儿子站在 100 米的中点处 ,? 父亲站在100 米跑道的起点处同时开始跑, 问父亲能否在 100 米的终点处超过儿子 ?并说明理由 .思路点拨 : 把问题转化为追及问题, 即比较父亲追上儿子时 ,? 儿子跑的路程与50 的大小 , 为了理顺步长、路程的关系, 需增设未知数 , 这是解题的关键 .解 : 设儿子每步跑 x 米 , 父亲每步跑 y 米, 单位时间内儿子跑5步,父亲跑 6步, 设 t 个单位时间父亲追上儿子 , 则有 5tx+50=6ty,把 4y=7x 代入得 5tx+50=6t ·7x, 解得 tx= 50 ,?4 5.5则赶上时 , 儿子跑了 5tx=50×5 =50<50, 故父亲能够在 100 米的终点前赶上儿子 .5.5 1.1【例 4】钟表在 12 点钟时三针重合 , 经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分 ?思路点拨先画钟表示意图 , 运用秒针分别与时针、 ?分针所成的角相等建立等量关系,关键是要熟悉与钟表相关的知识.解: 1440 分1427提示 : 设经过 x 分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分, 因为秒针、分针、时针的速度分别为360 度 / 分、 6 度 / 分、 0.5度 / 分 , 显然 x 的值大于1?小于 2, 所以有6x-360(x-1)=360(x-1)-0.5x,解得 x=1440.1427【例 5】七年级 93 年同学在 4 位老师的带领下准备到离学校33 千米处的某地进行社会调查 , 可是只有一辆能坐25 人的汽车 . 为了让大家尽快地到达目的地,? 决定采用步行与乘车相结合的办法. 如果你是这次行动的总指挥, 你将怎样安排他们乘车,? 才能使全体师生花最短的时间到达目的地?最短的时间是多少 ?( 师生步行的速度是 5 千米 / 时 , 汽车的速度是 55 千米 / 时 , 上、下车时间不计 ).思路点拨 人和车同时出发 , 由车往返接运 , 如能做到人车同时到达目的地 ,? 则时间最短 , 而实现同时到达目的地的关键在于平等地享用交通工具 , 这样 ,? 各组乘车的路程一样 , 步行的路程也就一样 .目的地学校解 : 要使全体师生到达目的地花的时间最短,33kmB, 并且使他AC就应让每一个学生或老师都乘到汽车①②们乘车的时间尽可能地长.97 人分成四组①、②、③、④.实线表示汽车行驶路线, 虚线表示步行路线.设允许每组乘车的最长时间为t? 小时 . 图中 AC=55t,CB=33-55t.汽车从 C到 D(E 到 F,G 到 H也一样 )用去的时间为55t 5t=5t( 小时 )5556汽车到达 C 处后 , 三次回头 , 又三次向 B 处开 . 共用去时间 3×5t+36t=11t.62这也是第一组从 C 到 B 步行所用的时间 , 所以有 33-5t= 11t × 5 2解得 t= 2小时 . 所以全体师生从学校到目的地去的最短时间为 2 +33552155 5555(小时 ).学力训练一、基础夯实1.甲、乙两人骑自行车 , 同时从相距 65 千米的两地相向而行 , 甲的速度为每小时 17.5 千米 ,乙的速度为每小时 15 千米 , 则经过 ________小时 , 甲、乙两人相距32.5? 千米 .2.某人以 4 千米 / 小时的速度步行由甲地到乙地, 然后又以 6 千米 /? 小时的速度从乙地返回甲地 , 那么此人往返一次的平均速度是_____千米 / 小时 .3.汽车以每小时 72 千米的速度笔直地开向寂静的山谷, 驾驶员揿一声嗽叭 ,4? 秒后听到回响 , 已知声音的速度是每秒340 米 ,? 听到回响时汽车离山谷的距离是______米.4.现在是 4 点 5 分 , 再过 _____分钟 , 分针和时针第一次重合 .5.甲、乙两人同时从 A 地到 B 地, 如果乙的速度 v 保持不变 , 而甲先用 2v? 的速度到达中点 ,再用1v 的速度到达 B 地 , 则下列结论中正确的是(). 2A. 甲、乙两人同时到达 B 地B.甲先到B地C. 乙先到 B 地D.无法确定谁先到6. 甲与乙比赛登楼, 他俩从36 层的长江大厦底层出发, 当甲到达 6 楼时 , 乙刚到达 5 楼 , 按此速度 , 当甲到达顶层时, 乙可到达 ().A.31层B.30层C.29层D.28层7. 小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶, 下图是小明每隔 1 小时看到的里程情况 , 你能确定小明在12:00 时看到的里程表上的数吗?8.如图 , 是某风景区的旅游路线示意图 , 其中 B、C、D 为风景点 ,E? 为两条路的交叉点 , 图中数据为两相应点间的距离 ( 单位 : 千米 ), 一学生从 A 处出发 , 以 2 千米 /? 时的速度步行游览 , 每个景点的逗留时间均为 0.5 小时 .(1)当他沿着路线 A→ D→C→ E→ A 游览回到 A 处时 , 共用了 3 小时 , 求 CE的长 .(2)若此学生打算从 A 处出发后 , 步行速度与在景点的逗留时间保持不变, 且在最短时间内看完三个景点返回到 A 处 , 请你为他设计一条步行路线,? 并说明这样设计的理由 .( 不考虑其他因素).(2001年江西省中考题)设 CE长为 x 千米 , 则 1.6+1+x+1=2 × (3-2 × 0.5),解得x=0.4(千米)9. 某人从家里骑摩托车到火车站, 如果每小时行30 千米 , 那么比火车开车时间早到15分钟 ,若每小时行 18 千米 , 则比火车开车时间迟到15 分钟 ,? 现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站 , 求此人此时骑摩托车的速度应该是多少?二、能力拓展10. 甲、乙两列客车的长分别为150 米和 200 米 , 它们相向行驶在平行的轨道上,? 已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10 秒 ,? 那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是______秒 .11. 甲、乙两地相距70 千米 , 有两辆汽车同时从两地相向出发,? 并连续往返于甲、乙两地,从甲地开出的为第一辆汽车, 每小时行30 千米 ,? 从乙地开出的汽车为第二辆汽车, 每小时行40 千米 , 当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇, 这两辆汽车分别行驶了______千米和 ______千米 .12.某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动 , 甲、乙两人都急于上楼办事 ,? 因此在乘扶梯的同时匀速登梯 , 甲登了 55 级后到达楼上 , 乙登梯速度是甲的 2 倍 ( 单位时间内乙登楼级数是甲的 2 倍 ), 他登了 60 级后到达楼上 , 那么 ,? 由楼下到楼上自动扶梯级数为________.13.? 博文中学学生郊游,? 沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进,? 每小时走4500 米 , 一列火车以每小时120 千米的速度迎面开来, 测得从车头与队首学生相遇, 到车尾与队末学生相遇 , 共经过 60 秒, 如果队伍长500 米 , 那么火车长为 ( )米.A.2075B.1575C.2000D.150014. 上午九点钟的时候, 时针与分针成直角,? 那么下一次时针与分针成直角的时间是( ).A.9 时 30 分B.10时5分C.10时55分 D.9时328分111115. 铁路旁的一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进, 行人速度为 3.6千米/小时 , 骑车人速度为10.8 千米 / 小时 , 如果有一列火车从他们背后开过来,? 它通过行人用了22 秒 , 通过骑车人用26 秒, 问这列火车的车身长为多少米? ( 河北省竞赛题 )16. 亚洲铁人三项赛在徐州市风光秀丽的云龙湖畔举行. 比赛程序是 :? 运动员先同时下水游泳 1.5 千米到第一换项点, 在第一换项点整理服装后,? 接着骑自行车40 千米到第二项换点 , 再跑步 10 千米到终点 . 下表是 2001 年亚洲铁人三项赛女子组(19 岁以下 ) 三名运动员在比赛中的成绩( 游泳成绩即游泳所用时间, 其他类推 ,? 表内时间单位为秒).运动员号码游泳成绩第一换项点自行车成绩第二换项点长跑成绩所用时间所用时间1911997754927403220194150311056865736521951354745351443195(1)填空 ( 精确到 0.01):第 191 号运动员骑自行车的平均速度是_______米 / 秒 ;第 194 号运动员骑自行车的平均速度是_______米 / 秒 ;第 195 号运动员骑自行车的平均速度是_______米 / 秒 .(2)如果运动员骑自行车都是匀速的, 那么在骑自行车的途中,191 号运动员会追上195号或 194 号吗 ?如果会 , 那么追上时离第一换项点有多少米( 精确到 0.01)?? 如果不会 , 为什么?(3)如果运动员长跑也都是匀速的 , 那么在长跑途中这三名运动员有可能某人追上某人吗 ?为什么 ?三、综合创新17.某出租汽车停车站已停有 6 辆出租汽车 , 第一辆出租车出发后 , 每隔 4?分钟就有一辆出租汽车开出 , 在第一辆汽车开出 2 分钟后 , 有一辆出租汽车进站,? 以后每隔 6 分钟就有一辆出租汽车回站, 回站的出租汽车, 在原有的出租汽车依次开出之后又依次每隔 4 分钟开出一辆 . 问: 第一辆出租汽车开出后, 经过最少多少时间,? 车站不能正点发车?18. 今有 12 名旅客要赶往40 千米远的汉口新火车站去乘火车,? 离开车时间只有 3 小时 , 他们步行的速度为每小时 4 千米 , 靠走路是来不及了, 惟一可以利用的交通工具只有一辆小汽车 , 但这辆汽车连司机在内最多只能乘 5 人, 汽车的速度为每小时60?千米 , 若这 12 名旅客必须要赶上这趟火车, 请你设计一种方案, 帮助司机把这12?名旅客及时送到汉口火车站 ( 不考虑借助其他交通工具).答案【学力训练】1.1 或 32.4.83.6404.16911提示 : 设再过 x 分钟 , 分针与时针第一次重合, 分针每分钟走 6° , 时针每分钟走0.5 ° ,则 6x=0.5x+90+0.5 × 5, 解得 x=16 9.115.CS 甲 V 甲 56.C 提示 :V 乙7.16S 乙48.(1)设 CE 长为 x 千米 , 则 1.6+1+x+1=2 × (3-2 ×0.5), 解得 x=0.4( 千米 )(2) 若步行路线为 A → D →C → B → E → A( 或 A →E → B → C → D → A) 则所用时间为 :1(1.6+1+1.2+0.4+1)+3 × 0.5=4.1( 小时 );2若步行路线为 A → D → C →E → B → E → A(? 或 A → E → B →E → C → D →A),则所用时间为 : 1(1.6+1+0.4+0.4×2+1)+3 ×0.5=3.9( 小时 ),2因为 4.1>4,4>3.9,所以 , 步行路线应为 A → D → C → E → B → E → A(或 A → E →B → E → C → D → A).9. 提示 : 设此人从家里出发到火车开车的时间为x 小时 ,由题意得 :30(x-15)=18(x+15), 解得 x=1,6060此人打算在火车开车前 10 分钟到达火车站 ,30 ( x15 ) 30 (1 15)骑摩托车的速度应为 :60 60=27( 千米 / 小时 ) x10 1 1060 6010.7.5 提示 : 先求出甲、乙两车速度和为200=20( 米/ 秒 )1011.150 、 200提示 : 设第一辆车行驶了 (140+x) 千米 ,则第二辆行驶了 (140+x)? ×4=140+(462+4x) 千米 , 333由题意得 :x+(46 2+4x)=70. 3312.6613.B14.D提示:设经过x分钟后时针与分针成直角, 则 6x- 1x=180, 解得 x=328 21115. 提示 : 设火车的速度为x 米 / 秒 ,由题意得 :(x-1)× 22=(x-3)× 26,解得x=14,?从而火车的车身长为(14-1) × 22=286( 米 ).16.(1)8.12;7.03;7.48.(2)191号能追上194 号, 这时离第一换项点有24037.96 米 ,191 号不会追上195 号.(3)从第二换项点出发时 ,195 号比 191 号提前 216 秒, 且长跑速度比 191 号快 ,所以 195 号在长跑时始终在191 号前面 ,而 191 号在长跑时始终在194 号前面 ,故在长跑时 ,? 谁也追不上谁 .17.设回车数是 x 辆 , 则发车数是 (x+6) 辆,当两车用时相同时, 则车站内无车 ,?由题意得4(x+6)=6x+2,解得x=11,故4(x+6)=68. 即第一辆出租车开出 , 最少经过 68 分钟时 , 车站不能正点发车 .18.设计方案一 :如果在汽车送前一趟旅客的同时, 让其他旅客步行, 第一趟设汽车来回共用了xh, 这时汽车和其他旅客的总路程为一个来回, 所以4x+60x=40× 2.解得 x=5440- 5此时 , 剩下 8 名旅客与车站的距离为·4=35(km),4同理 ,? 第二趟汽车来回用时间约为 1.09h,第三趟汽车来回用的时间为0.51h, 共用时间为 1.25+1.09+?0.?51=?2.85h,这批旅客能赶上火车.设计方案二 :先让汽车把 4 名旅客送到途中某处, 再让这 4 名旅客步行 (? 此时其他8 名旅客也在步行);接着汽车回来再送 4 名旅客 ( 剩下 4 名旅客继续步行),? 追上前面 4 名旅客后也让他们下车一起步行;最后回来接剩下的 4 名旅客到火车站,? 适当选取第一批旅客的下车地点, 使送最后一批旅客的汽车与前面8 名旅客同时到达火车站.设汽车送第一批旅客行驶xkm 后让他们下车步行, 此时其他旅客步行了4x=xkm,?60 15他们之间相差14xkm,在以后的时间里,由于步行的速度相同,? 15所以两批步行旅客之间始终相差14x 千米 , 15而汽车要在这段距离间来回行驶两趟, 每来回一趟的所用时间为14 x14 x1 1515 604604x32而汽车来回两趟所用时间恰好是第一批旅客步行(40-x)km的时间,即2×1x=40x解得 x=32. 324因此所需的总时间为32+4032≈ 2.53(h).604这样就用最省的时间把旅客送到火车站.-11-。