(sr , sr , sr , st , r , r , r , t )
1 2 3 1 4 5 6 2
定标算法——步骤一
2 2 2 对M0除以 c m5 m6 m7
则得到一组解 (sr1, sr2, sr3, st1, r4, r5, r6, t2)
。
由 r12 r22 r32 1 可求出s, 从而 t1也可被解出。
3、摄像机传统标定方法
主要内容
3.1、DLT方法 3.2、RAC方法 3.3、张正友的平面标定方法(ICCV, 1999) 3.4、孟胡的平面圆标定方法(PR, 2003)
3.5、吴毅红等的平行圆标定方法(ECCV, 2004)
3.1、直接线性变换（DLT变换）
DLT: Direct Linear Transformation
摄相机标定
中国科学院自动化研究所 模式识别国家重点实验室 /english/rv
主要内容
1、引言：什么是摄相机标定 2、摄相机标定方法的分类 3、传统摄相机标定方法（或利用景物信息
的标定方法）
4、主动视觉摄相机标定方法 5、摄相机自标定方法
1、引言
定标算法——步骤一
再根据：
得到：
x u0 u u0 y v0 v v0
s( r1 X r2Y r3 Z t1 ) u u0 r4 X r5Y r6 Z t2 v v0
由至少7组对应点，可以求得一组解 M0=(m1, m2, m3, m4, m5, m6, m7, m8)
Xw
Zw Yw
2、摄像机坐标系： X c , Yc , Z c 3、图像坐标系:
u, v x, y
Xc
Ow
世界坐标系
x u v
O1
图像坐标系
Zc
y
O
Yc
摄像机坐标系
图像数字化
O1在 u, v 中的坐标为 u 0 ,v0 象素在轴上的物理尺寸为 dx, dy
Affine Transformation :
由 cos 2 1 cos 2 2 cos 2 3 1
3.2、R. Tsai 的 RAC的定标算法
简 介
80年代中期Tsai提出的基于RAC的定标方法是计 算机视觉像机定标方面的一项重要工作，该方 法的核心是利用径向一致约束来求解除 t z（像 机光轴方向的平移）外的其它像机外参数，然 后再求解像机的其它参数。基于RAC方法的最大 好处是它所使用的大部分方程是线性方程，从 而降低了参数求解的复杂性，因此其定标过程 快捷，准确。
另一个约束
2 2 2 p31 p32 p33 1具有旋转和平移的不变性
R1 r11 , r21 , r31
P3 ( p31, p 32 , p33 )
R3r13 , r23 , r33
1 3
2
R2r12 , r22 , r32
向量 R1 ,R2 , R3 是两两 垂直的单位向量
DLT变换
P34 pij
消去 s ，可以得到方程组:

p11 X w p12Yw p13 Z w p14 p31uX w p32uYw p33uZ w p34u 0 p 21 X w p 22Yw p23 Z w p14 p31uX w p32uYw p33uZ w p34u 0
DLT变换
当已知 N 个空间点和对应的图像上的点时，可以得到一个 含有2* N 个方程的方程组：
AL 0
其中 A为 2N *12 的矩阵， 为透视投影矩阵元素组成的 L
p11 , p12 , p13 , p14 , p21 , p22 , p23 , p24 , p31 , p32 , p33 , p34 T。 向量
定标算法
定标步骤: 1.利用径向一致约束来求解 R, t1 , t2和
s
2.求解有效焦距 f 、z方向上的平移t3 和畸变参数 k1
f s, 0, u0 K 0, f , v0 0, 0, 1
定标算法——步骤一
1.求解像机外参数旋转矩阵 R 和 x 、y 方向上的平移 根据：
其中
摄像机的内参数矩阵 K
xw u ffu ffu cot u0 v 0 ff / sin v R t y w zc v 0 zw 1 0 0 1 1 K
f s, 0, u0 K 0, f , v0 0, 0, 1
fs ( r1 X r2Y r3 Z t1 ) x u0 r7 X r8Y r9 Z t3 f ( r4 X r5Y r6 Z t2 ) y v0 r7 X r8Y r9 Z t3
2. 主动视觉摄像机标定方法 • 特点
已知摄像机的某些运动信息
• 优点
通常可以线性求解，鲁棒性比较高
• 不足
不能使用于摄像机运动未知和无法控制的场合
3. 摄像机自标定方法 • 特点
仅依靠多幅图像之间的对应关系进行标定
• 优点
仅需要建立图像之间的对应，灵活性强，潜在 应用范围广。
• 不足
非线性标定，鲁棒性不高
主要内容
•像机模型 •径向一致约束 •定标算法
像机模型
Xw
O
Zw
Yw
zc
y x
xc
o'
c
世界坐标系和摄像机坐标系的关系 X x Y y K ( R t ) Z 1 1 在Tsai的方法中，K 取作：
oc
y
f s, 0, u0 K 0, f , v0 0, 0, 1
DLT变换
Abdal-Aziz和Karara于70年代初提出了直接 线性变换像机定标的方法，他们从摄影测量 学的角度深入的研究了像机图像和环境物体 之间的关系，建立了像机成像几何的线性模 型，这种线性模型参数的估计完全可以由线 性方程的求解来实现。
DLT变换
直接线性变换是将像点和物点的成像几何关系在齐次坐标下 写成透视投影矩阵的形式：
(r7 , r8 , r9 ) ( r1, r2 , r3 ) ( r4 , r5 , r6 ) (r7 , r8 , r9 ) ( r4 , r5 , r6 ) ( r1, r2 , r3 )
根据
或者
det( R) 1 ， 来选择 ( r7 , r8 , r9 )
定标算法——步骤二
2、摄相机标定方法分类
分三类
• 传统摄像机标定方法 • 主动视觉摄像机标定方法 • 摄像机自标定方法
1. 传统的摄像机标定方法
特点
利用已知的景物结构信息。常用到标定块。
1. 传统的摄像机标定方法 • 优点
可以使用于任意的摄像机模型，标定精度高
• 不足
标定过程复杂，需要高精度的已知结构信息。 在实际应用中很多情况下无法使用标定块。
x y K (R 1 X Y t ) Z 1
t1 r1 r2 r3 t t2 R r4 r5 r6 t r r r 3 7 8 9
得到：
视觉目的
三维重建是人类视觉的主要目的，也是计算机视觉 的最主要的研究方向. (Marr 1982)
所谓三维重建就是指从图象出发恢复出空间点三维 坐标的过程。 三维重建的三个关键步骤 • 图象对应点的确定
• 摄像机标定
• 二图象间摄像机运动参数的确定
坐标系
1、世界坐标系：
X w , Yw , Z w
V
Yd
yd
xd yd cot u u0 dx dx yd v v0 dy sin
f u cot f v / sin 0
v0
C

u0
fu 1 1 , fv dx dy
xd
O1

Xd
U
齐次坐标形式:
u f u v 0 1 0 u 0 xd v0 yd 1 1
像机模型
（x, y）
(u, v)
理想图像坐标到数字图像坐标的变换 （只考虑径向偏差）
（uc, vc）
( x uc )(1 k1 ( u v )) u uc
2 2
( y vc )(1 k1 ( u v )) v vc
2 2
(u, v)为一个点的数字化坐标，（x, y）为理想 的数字化坐标，（uc, vc）为畸变中心。
定标算法——步骤二
将 x, y 的表达式代入，并将上一步中求出的 R, t1, t2 的 值代入，得：
( u u0 )( r7 X r8Y r9 Z t3 ) fs( r1 X r2Y r3 Z t1 ) (v v0 )( r7 X r8Y r9 Z t3 ) f ( r4 X r5Y r6 Z t2 )
2. 求解t3, f, k1
k =0 作为初始值，则：
1
x u0 u u0
y v0 v v0
fs ( r1 X r2Y r3 Z t1 ) x u0 r7 X r8Y r9 Z t3 f ( r4 X r5Y r6 Z t2 ) y v0 r7 X r8Y r9 Z t3
X w X w u Y Y s v K R t w P34 w Zw Zw 1 1 1
其中 u,v,1 为图像坐标系下的点的齐次坐标，X w , Yw , Z w 为 世界坐标系下的空间点的欧氏坐标， 为 3 4 的透视投影矩 P 阵，s 为未知尺度因子。