数字图像处理
——摄像机标定
李**
标定有什么用？
1、工业元件尺寸测量系统
2、基于机器视觉的四轮定位系统
3、数字博物馆虚拟体验
标定什么？
外参 内参
1、物距
1、像素
2、焦距
2、角度
3、图像原点
4、畸变
一、综述
（一）什么是摄像机标定 在图像测量过程以及机器视觉应用中，为 确定空间物体表面某点的三维几何位置与其在 图像中对应点之间的相互关系，必须建立摄像 机成像的几何模型, 这些几何模型参数就是摄 像机参数。在大多数条件下这些参数必须通过 实验与计算才能得到，这个求解参数的过程就 称之为摄像机标定。
一个基准坐标系，用于描述摄像 机放置在拍摄环境中的位置和被 拍摄物体的位置。
(五)摄像机坐标系与图像坐标系转换
摄像机坐标系：O-XcYcZc 图像坐标系：O1-XY
Yc
Y
根据三角形相似原理，有
m( x, y )
M ( xc , yc , zc )
x x f c zc
yc y f zc
o
XcfBiblioteka O1摄 像 机 标 定 技 术
线性标定方法
优点：标定精度高 缺点：模型复杂计算量过大
非线性优化标定方法
优点：参数求解简易 缺点：标定成本高
Tsai的经典两步法 两步标定法 张正友的标定方法
(一)线性标定方法
u ZC v M 1M 2 X w MX w 1
将
写成如下形式：
T r 根据旋转矩阵的性质，即 1 r2 0 和 r 1 r2 1 ，每
幅图象可以获得以下两个对内参数矩阵的基本约束
h1T K T K 1h2 0 T h1T K T K 1h1 h2 K T K 1h2
由于摄像机有5个未知内参数，所以当所摄取得的图象数 目大于等于3时，就可以线性唯一求解出H。
1 1 1 f u v
一般情况下
u
f
所以
v f
即相距与焦距相近
空间中任何一点Pw在图像上的成像位置可以用针孔模 型近似表示，即任何点Pw在图像上的投影位置p，为光心 Oc与Pw点的连线OcPw与图像平面的交点。由三角形相似性 可知： fxc
x zc fyc y zc
0 f 0
使用其次坐标和矩阵表示可写为：
(四)摄像机坐标系、世界坐标系
摄像机坐标系是由点OC与XC、 YC和ZC轴组成的直角坐标系 (OC
点称为摄像机的光学中心，简称
光心), XC、YC和x轴y轴平行，ZC 轴为摄像机的光轴，它与图像平 面垂直，光轴与图像平面的交点， 即为图像坐标系的原点，OcO1 为 摄像机焦距。
世界坐标系(Ow,Xw,Yw,Zw) 是
v
u x
v
y
（二）图像物理坐标系(O1,X,Y)
由于像素直角坐标系中(u , v )只表示像素 位于数组中的列数与行数，并没有物理单位表示 出该像素在图像中的位置，因此需要建立以物理 单位表示的图像物理坐标系(O1,X,Y)。
(三)物理坐标系与像素坐标系转换
如图若O1在u，v坐标系中 的坐标为（u0，v0），每一个像 素在x轴与y轴方向上的物理尺寸 为dx，dy则图像中任意一个像素 在两个坐标系下的坐标有如下关 系： x y u u0 v v0 dx dy 上式可表示为下面的矩阵：
m13 m23 m33 X m14 w Yw m24 Z w m34 1
u m11 m12 m ZC v 21 m22 1 m31 m32
整理消去 Zc 得到两个关于 mij 的线性方程：
求解摄像机模型参数
令：
经过推导可得：
有：
非线性最优化摄像机参数
由于图像噪声等因素的影响，上述过程求得的 CCD 摄像 机参数与真实值之间还存在着差距。因此，需要对所有的摄 像机参数进行最优化求解，优化目标函数为：
其中， 像模型投影得到的, 点。
是由世界坐标点M通过摄像机成 是通过角点检测得到的像素坐标
x f 0 Zc y 1 0 Xc 0 0 Yc 0 0 Z c 1 0 1
根据以上论述可知世界坐标系表示的Pw点坐标与 其投影点p的坐标(u,v)的对应关系为：
x f Zc y 0 1 0 0 f 0 X 0 0 c Yc 0 0 Z c 1 0 1
四、摄像机镜头畸变
由于摄像机物镜系统设计、制作、装配所 引起的像点偏离其理想位置点位误差称为光学 畸变，如下图所示：
1、径向畸变、偏心畸变
光学畸变分为径向畸 变和偏心畸变。径向畸 变像点沿径向方向偏离 标准理想位置；偏心畸 变使像点沿径向方向和 垂直径向方向偏离理想 位置，径向畸变称为非 对称径向畸变，垂直径 向方向的畸变称为切向 畸变。

薄棱镜畸变是指由光学镜头制造误差和成像敏感阵列制 造误差引起的图像变形，这种变形是由径向变形分量和 切向变形分量共同构成，其数学模型为：
2 2 X p s1 ( xd yd ) 2 2 Y s ( x y ) p 2 d d
五、传统的摄像机标定技术
优点：运算速度快 缺点：标定的精度不高
二、摄像机标定涉及到的坐标系
（一）图像像素直角坐标系
摄像机采集图像后以标准电视信 号的形式输入计算机，在计算机中以M × N矩阵(M 行 N 列的图像中的每一个 元素的数值被称为图像点的灰度)保存。 在图像上定义图像像素直角坐标系(Ot, u, v)，每一个像素的坐标(u,v)分别表 示该像素在数组中的列数与行数。
X wm11 Ywm12 Z wm13 +m14 uX wm31 uYwm32 uZ wm33 um34 X wm21 Ywm22 Z wm23 +m24 vX wm31 vYwm32 vZ wm33 vm34
1.已知像素坐标，将mij看作未知 数，则共有 12个未知数
参考文献
[1] 马颂德,张正友.计算机视觉-计算理论与算法基础[M]. 北京：科学出版社,1998. [2] D Vision, W H Freeman, Company San Francisco.中译 本：视觉计算理论，姚国正，刘磊，汪云九译，科学出版 社，1988. [3] 钟玉琢,乔秉新,李树青.机器人视觉技术[M].北京：国防 工业出版社,1994. [4] 蔡自兴.机器人学[M].北京:清华大学出版社,2003. [5] 贾云得.机器视觉[M].北京:科学出版社,2000. [6] 章毓晋.图像工程[M].北京:清华大学出版社,1999. [7] 郑南宁.计算机视觉与模式识别 [M].北京：国防工业出 版 社, 1998. [8] 吴立德.计算机视觉[M].上海：复旦大学出版社, 1993.
摄像机坐标系向世界坐标系的变换，包括 X、Y轴和Z轴的旋转以及坐标平移，故根据以 上坐标变换知识可得摄像机坐标系和世界坐 标系的齐次坐标系变换矩阵：
其中
R中各个参数r1…r9可由旋转变换矩阵得到， 且只含有α、β和γ三个参数
三、摄像机针孔模型
透镜成像原理： 物距μ，焦距f，相距v三者之间满足如下关系
2 4 6
xd
2 2 r xd yd
xr x

由于镜头装配误差，组成光学系统的多个光学镜头的 光轴不可能完全共线，从而引起偏心畸变，这种变形 是由径向变形分量和切向变形分量共同构成，其数学 模型为：
2 2 X d p1 (3xd yd ) 2 p2 xd yd 2 2 Yd 2 p1 xd yd p2 ( xd 3 yd )
（二）摄像机标定的意义 无论是在图像测量或者机器视觉应 用中，摄像机参数的标定都是非常关键 的环节，其标定结果的精度及算法的稳 定性直接影响摄像机工作产生结果的准 确性。因此，做好摄像机标定是做好后 续工作的前提，是提高标定精度是科研 工作的重点所在。
（三）摄像机标定的目的
是利用给定物体的参考点坐标（x，y，z） 和它的图像坐标（u，v）来确定摄像机内部的 几何和光学特性（内部参数）以及摄像机在三 维世界中的坐标关系（外部参数）。内部参数 包括镜头焦距f，镜头畸变系数（k、s、p）， 坐标扭曲因子s，图像坐标原点（u0，v0）等参 数。外部参数包括摄像机坐标系相对于世界坐 标系得旋转矩阵R 和平移向量T 等参数。
式中
2 2 r0 xr2 yr2 r xd yd
Ki为畸变系数
由于径向畸变只跟像素点离图像中心的距离有关，因此在直 xd xr 角坐标系中有： yd yr yd yr o y 将该式带入上式得：
X r xd (k1r k2 r k3r ) 2 4 6 Yr yd (k1r k2 r k3r )
求解方法
拟 线 性 化 方 法
最速下降法
遗传算法
高斯牛顿法
神经网络算法 Levenberg-Marquard算法
完 全 非 线 性 法
(三)两步标定法
1. Tsai的经典两步法
概念：Tsai 基于 RAC 约束（Radial Alignment Constrain）提 出的两步法，在求解过程中将CCD（电耦合器件）阵列感光元的横向间 距和纵向间距当作已知参数，求解的摄像机内部参数：有效焦距f；镜 头径向畸变系数k1,k2；非确定性尺度因子xs ；图像中心或主点u0,v0。 外部参数：世界坐标系与摄像机坐标系之间的旋转矩阵R与平移向量t。
求解：首先利用最小二乘法求解超定线性方程组，求得模型外部 参数；然后求解内部参数，如果摄像机无透镜畸变，可通过一个超定 线性方程组解出，如果存在一个以二次多项式近似的径向畸变，则利 用一个包含三个变量的目标函数进行优化搜索求解。