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§6.1 集合的基本概念
至少有一个元素的集合称为非空集. 至少有一个元素的集合称为非空集 由无限多个元素构成的集合称为无限集. 由无限多个元素构成的集合称为无限集 由有限个元素构成的集合称为有限集. 由有限个元素构成的集合称为有限集
含有n个元素的集合简称为 元集 含有 个元素的集合简称为n元集 个元素的集合简称为 n元集的含有 m (m≤n) 个元素的子集叫做它的 m元子集 元集的含有 元子集 对n元集集 它的 元子集有 n0个, 1元子集有 n1个,……, 元集集A,它的 元子集有C 元子集有C 元集集 它的0元子集有 元子集有 m元子集有 nm个,……, n元子集有 nn个 元子集有C 元子集有C 元子集有 元子集有 所以子集总数为 Cn0 + Cn1 +…… Cnn =2n
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§6.3 有穷集的计数
名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查。 例6.4 对24名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查。其统计结果如下： 名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查 其统计结果如下： 会英、 德和法语的人分别为13， ， 和 人 会英、日、德和法语的人分别为 ，5，10和9人，其中同时会英语和日语的 有2人，会英、德和法语中任两种语言的都是 人。已知会日语的人既不懂法 人 会英、德和法语中任两种语言的都是4人 语也不懂德语，分别求只会一种语言(英 语也不懂德语，分别求只会一种语言 英、德、法、日)的人数和会三种语言的 的人数和会三种语言的 人数。 人数。 分别表示会英、 日语的人的集合。 解: 令A，B，C，D分别表示会英、法、德、日语的人的集合。根据题意画出 ， ， ， 分别表示会英 文氏图如图6.3所示。设同时会三种语言的有x人 只会英、 文氏图如图6.3所示。设同时会三种语言的有x人，只会英、法或德语一种语 所示 言的分别为y 填入图中相应的区域， 言的分别为 1，y2和y3人。将x和y1，y2，y3填入图中相应的区域，然后依次 和 填入其它区域的人数。 填入其它区域的人数。 根据已知条件列出方程组如下： 根据已知条件列出方程组如下：
在一个具体的问题中， 定义 6.6 在一个具体的问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子 则称这个集合为全集,记作 集,则称这个集合为全集 记作 。全集是相对的。 则称这个集合为全集 记作E。全集是相对的。
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§6.2 集合的运算
定义6.7 设A,B为集合 与B的并 交,差(相对补 运算定义如下 为集合,A与 的并 的并,交 差 相对补 运算定义如下: 相对补)运算定义如下 定义 为集合 的并集记为A∪ 并: A与B的并集记为 ∪B , A∪B＝{x|x∈A∨x∈B } 与 的并集记为 ∪ ＝ ∈ ∨ ∈ 的交集, 交: A与B的交集 记为 ∩B ,A∩B＝{x|x∈A∧x∈B } 与 的交集 记为A∩ ∩ ＝ ∈ ∧ ∈ 的差集, 的差称为B 关于A 的相对补. 差: A与B的差集 记为 与 的差集 记为A–B , A 与 B 的差称为 关于 的相对补 A–B＝{ x|x∈A∧x ∉ B } ＝ ∈ ∧ 定义6.8 定义 为集合, 设A, B为集合 A与B 的对称差集 A⊕B,定义为 为集合 与 ⊕ 定义为
数集 表示自然数集, 表示整数集, 表示有理数集, 用N表示自然数集, 用Z 表示整数集, 用Q表示有理数集, 用R表 示实数集, 示实数集, 用C表示复数集
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§6.1 集合的基本概念
集合间的包含与相等关系
定义6.1 设A, B为两个集合 如果 的每一个元素都属于 则称 为两个集合, 的每一个元素都属于A 定义 为两个集合 如果B的每一个元素都属于 则称B 是A的子集 记为B ⊆A 或 A ⊇ B, 也称 A包含 。 的子集, 记为 包含B。 的子集 包含 如果B不被 包含, 则记作 B ⊈ A 如果 不被A包含 不被 包含 包含的符号化表示为 B ⊆A ⇔ (∀x) ( x∈B ∀ ∈ x ∈A ) 对任何集合A都有 A ⊆ A 对任何集合A都有 例如: N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C 例如 隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系,对某些集合可以同时成 隶属关系和包含关系都是两个集合之间的关系 对某些集合可以同时成 立这两种关系 例如: 例如 A={ a, {a} } ,则 {a} ∈A 并且 {a} ⊆ A 则
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§6.1 集合的基本概念
为两个集合, 则称A与 相等 相等, 定义 6.2 设A, B为两个集合 若B ⊆ A且 A⊆ B, 则称 与B相等 为两个集合 且 ⊆ 记作 A = B
相等的符号化表示为 A ⊆B ⇔ (B ⊆ A) ∧ ( A ⊆ B )
为集合,如果 则称B为 的真子集或 的真子集或A 定义 6.3 设A,B为集合 如果 B ⊆ A 且B≠A 则称 为A的真子集或 为集合 真包含B, 记为B 真包含 记为 ⊂ A
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§6.1 集合的基本概念
集合与元素之间的隶属关系
a是集合 的元素 就称 a属于 记为 a ∈A 是集合A的元素 属于A, 是集合 的元素, 属于 a不是集合 的元素 就称 a不属于 记为 ∉ A 不是集合A的元素 不属于A, 不是集合 的元素, 不属于 记为a 例: A={a,{b,c},d,{{d}} } 这里 a∈A, d∈A, {{d}} ∈A ,但 b ∉ A ∈ ∈ 但 规定: 规定 A∉A
解得x＝1，y1＝4，y2＝2，y3＝3 解得 ＝ ， ， ，
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§6.3 有穷集的计数
定理6.2 (包含排斥原理 设S为有穷集 1,P2,…,Pn是n个性质 中的 包含排斥原理) 为有穷集,P 个性质.A中的 定理 包含排斥原理 为有穷集 个性质 任何元素x或者具有性质 或者不具有性质P 两种情况必居其一 两种情况必居其一.令 任何元素 或者具有性质Pi或者不具有性质 i,两种情况必居其一 令Ai 或者具有性质 表示A中具有性质 的元素构成的子集,则 中不具有性质 中不具有性质P 表示 中具有性质Pi的元素构成的子集 则A中不具有性质 1,P2,…,Pn 中具有性质 的元素数为
五种运算的文氏图
E A B 并 E A 补 A B
E A
E B
交
差 E A B 对称差
§6.2 集合的运算
两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交： 两个集合的并和交运算可以推广成 个集合的并和交： 个集合的并和交 A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An} ∪ ∈ ∈ ∨ ∈ A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An} ∩ ∈ ∈ ∧ ∈ 上述的并和交可以推广成n个集合的并和交： 上述的并和交可以推广成 个集合的并和交： 个集合的并和交 ＝A1∪A2∪…∪An ＝A1∩A2∩…∩An ∪ ∩ 并和交运算还可以推广到无穷多个集合的情况： 并和交运算还可以推广到无穷多个集合的情况： ＝A1∪A2∪… ＝A1∩A2∩…
在集合论中没有意义,不是集合 ∩ ∅在集合论中没有意义 不是集合 例如: 例如 A={ {a,b,c},{a,c,d},{a,e,f} } ,则 ∩ A={a} 则
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§6.2 集合的运算
集合运算的优先次序
广义并,广义交 幂集 广义并 广义交,幂集 绝对补运算为一类运算 广义交 幂集,绝对补运算为一类运算 相对补,对称差运算为二类运算 并,交,相对补 对称差运算为二类运算 交 相对补 一类运算优先于二类运算 一类运算之间由右向左顺序进行 二类运算之间由括号决定先后顺序
定义6.11 A为非空集合 的所有元素的公共元素构成的集合称为A 为非空集合,A的所有元素的公共元素构成的集合称为 定义6.11 设A为非空集合,A的所有元素的公共元素构成的集合称为A 的广义交
A的广义交记为∩A 的广义交记为∩ 的广义交记为 A的广义交符号化表示为 的广义交符号化表示为 ∩A={x| ∀z (z∈A ∈ x ∈z)}
真子集的符号化表示为 A ⊂ B ⇔ (B ⊆ A) ∧ ( A ≠ B )
不含任何元素的集合称为空集, 记为∅ 定义 6.4 不含任何元素的集合称为空集 记为∅
空集的符号化表示为 ∅={ x|x≠x }
定理 6.1 空集是一切集合的子集
∅ ⊆A ⇔ (∀x) ( x∈ ∅ ∀ ∈ 推论 空集是唯一的 x ∈A )
§6.4 集合恒等式
基本集合恒等式 , A,B,C代表任意集合 代表任意集合
A⊕B = {x|x∈ A∪B ∧x ∉ A∩B } ⊕ ∈ ∪ ∩ 定义6.9 给定全集 以后 设A是E的子集 的绝对补集 给定全集E以后 以后,设 是 的子集 的绝对补集~A定义如下 的子集,A的绝对补集 定义如下 定义如下: 定义 ~A = E–A= {x|x∈E ∧x ∉ A } ∈
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§6.2 集合的运算
§6.1 集合的基本概念
集合: 把一些事物汇集到一起组成的整体称为集合, 集合 把一些事物汇集到一起组成的整体称为集合 组成集合的那些 事物称为该集合的元素或成员. 事物称为该集合的元素或成员 集合一般有两种表示法: 集合一般有两种表示法 列举法: 列举法 把属于集合的元素以某种方式列举出来, 写在花括号{ 里 把属于集合的元素以某种方式列举出来 写在花括号 }里 例: 由四个数 -1, 2, 3, -4 构成的集合表示为 构成的集合表示为{-1, 2, 3,-4} 描述法 描述出来, 把属于某个集合的元素所具有的特定性质P 描述出来 写在花 括号{ 里记为 括号 }里记为 { x | P(x) } 例: { x | 3x+1< 2 } 集合由其元素完全确定, 集合中的元素是不考虑次序的, 集合由其元素完全确定 集合中的元素是不考虑次序的 而且也应是 互不相同的。 互不相同的。
为集合,把 的全体子集构成的集合叫做 的全体子集构成的集合叫做A的幂集 定义 6.5 设A为集合 把A的全体子集构成的集合叫做 的幂集 为集合 记作P(A)或2A 或 记作
例如: 例如 设A={a, b, c}, 则P(A)={∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A} ∅