n 请举例？
例：方程x2-1=0的所有实数解的集合B： 谓词表示法: B={x|x∈R ∧x2-1=0}
列元素法： B={-1，1}。
2004-11-23
集合与图论 6.10 哈工大计算机学院 李东 教授
例：小于5的非负整数组成的集合A： A={x | x ∈ N ∧ x < 5 }. ={ 0，1，2，3，4 }
2004-11-23
集合与图论 6.32 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(26)
全集E(定义6.6)： 对于一个具体问题，如果涉及的所 有集合都是某个集合的子集，则称此集合 为全集，记为E.
2004-11-23
集合与图论 6.33 哈工大计算机学院 李东 教授
注
意
全集E的定义是相对的，是针对一个 具体问题而言。不同的具体问题会有不同 的全集. 对于某一个具体问题而言。应选取 最小的全集作为讨论对象.
A U B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B}, A I B = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B}, A − B = { x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
2004-11-23
集合与图论 6.20 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(15)
定义6.3 设A、B为集合，如果 B ⊆ A 且 A ≠ B ， 则称B是A的真子集。记做 B ⊂ A 如果B不是A的真子集，则记做 B ⊄ A 真子集的含义可以用符号化来表示：
B ⊂ A⇔ B ⊆ A∧ B ≠ A
2004-11-23
集合与图论 6.3 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(1)
n 将具有某种共同特征的事物汇集到一起组成
一个整体，这个整体就称为集合（Set)。
H 组成集合的事物叫做该集合的元素
(element)。 例如：26个英文字母可以组成一个集合。 一个家庭的成员可以组成一个集合。
2004-11-23
集合与图论 6.19 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(14)
定义6.2 设A、B为集合，如果 A ⊆ B且 B ⊆ A ， 则称A与B相等。记做 A = B 如果A与B不相等，则记做 A ≠ B 相等的定义可以用符号化来表示：
A= B ⇔ A⊆ B∧B⊆ A
例如：小写英文字母集L
L={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z}.
太长了，太多了， 太烦了。 全体中国人的集合CP如何表示？
2004-11-23
集合与图论 6.7 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(5)
2.谓词表示法
集合与图论 6.27 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(21)
例：求集合B={1,2,3,4}的所有子集？
解：B的0元子集，只有一个：φ ； B的1元子集，即单元集，有四：{1}、 {2}、{3} 、{4}； B的2元子集有六：{1，2}、{1，3}、 {1，4} 、{2，3}、{2，4}、{3，4} ； B的3元子集有四：{1,2,3}、 {1,2,4}、 {2,3,4}、 {1,3,4}。 B的4元子集就是它本身{1,2,3,4} 。
集合论与图论
李 东 教授 哈尔滨工业大学 计算机科学与技术学院
2004-11-23
集合与图论 6.1 哈工大计算机学院 李东 教授
第一篇 集合论
第6章 集合代数 第7章 二元关系 第8章 函 数 第9章 集合的基数
2004-11-23
集合与图论 6.2 哈工大计算机学院 李东 教授
Chapter 6: 集合代数 n 6.1 集合的基本概念 n 6.2 集合的运算 n 6.3 集合恒等式
φ = { x | x ≠ x}
2004-11-23
集合与图论 6.23 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(17)
定理6.1 空集是一切集合的子集。 证明：给定任意的集合A,由子集的定义可得：
φ ⊆ A ⇔ ∀x ( x ∈ φ → x ∈ A}
上式中右边的蕴涵式由于前件为假而为真命题， 所以 φ ⊆ A 为真。（可参考本书P9，表1.1)
例：所有奇数组成的集合B： B={x| x∈Z ∧ x mod 2 =1}. 例：10的整倍数组成的集合A： A={x| x∈Z ∧x mod 10 =0}.
2004-11-23
集合与图论 6.9 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(7) n 有些集合既可以用列元素法表示，
又可以用谓词表示法。但是有些集 合只能用谓词表示法。
2004-11-23
集合与图论 6.28 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(22)
结论： 对于n元集，它的0元子集有 Cn 个，
0
1元子集有 Cn 个，… ,i元子集有 C i 个，n n n 元子集有C 个。
1 n
子集总数为：
C + C + ⋅⋅⋅ + C + ⋅⋅⋅ + C = 2
6.1 集合的基本概念(9)
n集合元素的特性之二：
集合中的元素可以是任何类型的事 物，即集合的元素也可以是集合。 本书中进一步规定： 集合的元素都是集合。
A={孙悟空，猪八戒，沙和尚}。 B={a，b，c，{a，b}，{b，c}，{a，c}}。
2004-11-23
集合与图论 6.15 哈工大计算机学院 李东 教授
集合与元素的关系： 属于（∈） 或 0 ∈ N, 不属于（ ∈ ） –1 ∈ Z
1.5 ∈ R ,
-2 ∈ N, 1.5+2.6i∈R , 2.5 ∈ Z
2004-11-23
集合与图论 6.17 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(12)
n 子集（定义6.1）
设A、B为集合，如B中的每一个元素都是A 中的元素，则称B是A的子集合，简称子集， 记做B A，读作A包含B，或B被A包含。 A 如果B不被A包含，则记作B
2004-11-23
集合与图论 6.21 哈工大计算机学院 李东 教授
举
例
对于任何集合S，都有：
S ⊆ S,S ⊄ S
对于数字而言，存在：
N ⊂ Z ⊂Q ⊂ R ⊂ C
但是：
N ⊄ N
2004-11-23
集合与图论 6.22 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(16)
定义6.4 不含任何元素的集合叫做空集，记做 φ 空集可以用符号化的谓词来定义：
2004-11-23
集合与图论 6.11 哈工大计算机学院 李东 教授
Question 1
A=（1，2，3）。 A={1，2，3}。 Which one is a set?
2004-11-23
集合与图论 6.12 哈工大计算机学院 李东 教授
Question 2
A={1，2，3}。 A={1、2、3}。 Which one is a set?
2004-11-23
集合与图论 6.34 哈工大计算机学院 李东 教授
举
例ห้องสมุดไป่ตู้
考虑学生的年龄时，可选择整数集 作为全集E，也可选择自然数集作为全 集E。一般我们就选择其中较小的集合 作为全集E。 问题： 考虑来上课的学生时，应选取什么作 为全集呢？
2004-11-23
集合与图论 6.35 哈工大计算机学院 李东 教授
哈工大计算机学院
6.1 集合的基本概念(19)
n元集：含有n个元素的集合。 n元集的含有m(m≤n)个元素的子 集叫做它的m元子集。 特别地，对于只含有一个元 素的集合，称之为单元集。 根据定理6.1的推论，可知：0元 子集是唯一的，既空集 φ 。
2004-11-23
集合与图论 6.26 哈工大计算机学院 李东 教授
2004-11-23
集合与图论 6.30 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(24)
例题：写出集合A={1,2,3}的幂集P(A)?
P ( A ) = {φ , { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1 , 2 }, { 1 , 3 }, { 2 , 3 }, { 1 , 2 , 3 }}
6.2 集合的运算(1)
集合的基本运算包括： 并运算：∪ 交运算：∩ 相对补运算： 对称差运算： ⊕
2004-11-23
集合与图论 6.36 哈工大计算机学院 李东 教授
6.2 集合的运算(2)
定义6.7： 设A、B为集合，A与B的并集A∪B， 交集A∩B，B对A的相对补集A-B分别定 义如下：
6.1 集合的基本概念(20)
例6.1：求集合A={1,2,3}的所有子集？
解：A的0元子集，只有一个： φ； A的1元子集，即单元集，有三：{1}、 {2}、{3}； A的2元子集有三：{1，2}、{2，3}、 {1，3}； A的3元子集就是它本身{1,2,3} ，因 为A就是三元集。
2004-11-23
6.1 集合的基本概念(10)
n集合元素的特性之三：
集合中的元素彼此不同，重复出 现的元素被认为是同一个元素，冗 余出现的元素将被自动删除。 {1，2，3，2，4，1，5} ==> {1，2，3，4，5}
2004-11-23
集合与图论 6.16 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(11)
H 集合及其元素都是有名称的。通常用大写
的英文字母来为集合命名，用小写的英文 字母来为集合元素命名。
2004-11-23
集合与图论 6.4 哈工大计算机学院 李东 教授
6.1 集合的基本概念(2) n 常用的集合有： Ø 自然数集N