②当点 M 在线段 OA 上，点 N 在 AB 上时，如图：
∵点 P 在线段 AC 上，则点 P 为（1，m），
∵点 A' 与点 A 关于 MN 对称，则点 A' 的坐标为（1，2m - 3），
∴ A' P 3 m， A'C (2m 3) 1 2m 8 ，
3
3
设直接 OA 为 y ax ，直线 AB 为 y kx b ，
分别把点 A，点 B 代入计算，得
直接 OA 为 y 3x ；直线 AB 为 y 2x 5 ，
令 y m，
则点 M 的横坐标为 m ，点 N 的横坐标为 m 5 ，
3
2
∴ MN m 5 m 5 5 m ； 2 3 2 6
∵ SA'MN
1 2
MN
•
A'P
1 •(5 22
5 6
m) • (3 m)
（3）如图 3，点 E，F 为线段 BC 上两点，且∠CAF＝∠EAF＝∠BAE，点 M 是线段 AF 上一
个动点，点 N 是线段 AC 上一个动点，是否存在点 M，N，使 CM+NM 的值最小，若存在，
求出最小值：若不存在，说明理由．
【答案】（1）36；（2）详见解析；（3）存在，最小值为 3． 【解析】 【分析】 （1）根据旋转的性质得到△ABD 是等腰直角三角形，求得 AD＝2BC＝12，根据三角形的面 积公式即可得到结论； （2）如图 2，过 Q 作 QH⊥CA 交 CA 的延长线于 H，根据等腰直角三角形的性质，得到 PQ ＝PB，∠BPQ＝90°，根据全等三角形的性质得到 PH＝BC，QH＝CP，求得 CP＝AH，得到 ∠HAQ＝45°，于是得到∠BAQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即可得到结论； （3）根据已知条件得到∠CAF＝∠EAF＝∠BAE＝15°，求得∠EAC＝30°，如图 3，作点 C 关 于 AF 的对称点 D，过 D 作 DN⊥AC 于 N 交 AF 于 M，则此时，CM+NM 的值最小，且最小 值＝DN，求得 AD＝AC＝6，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】
2．在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝6．
（1）如图 1，若将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转 90°得到线段 BD，连接 AD，则△ABD 的面积
为
．
（2）如图 2，点 P 为 CA 延长线上一个动点，连接 BP，以 P 为直角顶点，BP 为直角边作
等腰直角△BPQ，连接 AQ，求证：AB⊥AQ；
把 y m代入 y 1 x ，则 x 3m，
3
∴ MN m 5 3m 5 m 5 ， A'C 1 (2m 3) 8 2m ，
2
22
3
3
∴ SA'MN
1 2
MN
• A'P
1 •(5 m 22
5) • (3 m) 5 m2
2
4
5 m 15 ， 24
SOA ' B
1 2
∴点 B 的坐标为（3， 1）， 设抛物线的解析式为 y a(x 1)2 3 ，
把点 B 代入，得
a(3 1)2 3 1， ∴ a 1， ∴抛物线的解析式为 y (x 1)2 3 ，
即 y x2 2x 2 ； （2）①∵P 是线段 AC 上一动点，
∴m3， ∵当 AMN 在 OAB 内部时， 当点 A' 恰好与点 C 重合时，如图：
数学九年级上册 旋转几何综合专题练习（解析版）
一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 y ax2 bx c 的顶点是 A(1，3)，将 OA 绕点 O 顺时针旋转 90 后得到 OB，点 B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的
对称轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P 是线段 AC 上一动点，且不与点 A，C 重合，过点 P 作平行于 x 轴的直线，与
OAB 的边分别交于 M，N 两点，将 AMN 以直线 MN 为对称轴翻折，得到 AMN ．
设点 P 的纵坐标为 m．
①当 AMN 在 OAB 内部时，求 m 的取值范围；
②是否存在点 P，使 SAMN
5 12
m2
5 2
m 15 4
；
SOA ' B
1 2
•
A'C
•3
3 2
• (2m
8) 3
3m
4
；
又∵ SAMN
5 6
SOA'B ，
∴ 5 m2 5 m 15 5 (3m 4) ， 12 2 4 6
解得： m 6 19 或 m 6 19 （舍去）；
当点 M 在边 OB 上，点 N 在边 AB 上时，如图：
•
A'C
•3
Байду номын сангаас
3 2
• (8 3
2m)
4 3m
，
∵ SAMN
5 6
SOA'B
，
∴ 5 m2 5 m 15 5 (4 3m) ， 4 2 46
解得： m 6 39 或 m 6 39 （舍去）；
3
3
综合上述，m 的值为： m 6 19 或 m 6 39 ． 3
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转、解一元二次方程、全等 三角形的判定和性质、三角形的面积公式等，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确得 到点 P 的位置．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题．
∵点 B 为（3， 1）， ∴直线 OB 的解析式为 y 1 x ，
3 令 x 1，则 y 1 ，
3 ∴点 C 的坐标为（1， 1 ），
3 ∴AC= 3 ( 1) 10 ，
33
∵P 为 AC 的中点，
∴AP= 1 10 5 ， 23 3
∴m 3 5 4 ， 33
∴m 的取值范围是 4 m 3 ； 3
5 6
SOA'B
,若存在，求出满足
m
的值；若不存在，请说明理
由．
【答案】 1 y x2 2x 2 ；（2）① 4 m 3 ；②存在，满足 m 的值为 6 19 或
3
6 39 ． 3
【解析】
【分析】
（1）作 AD⊥y 轴于点 D，作 BE⊥x 轴于点 E，然后证明△AOD≌△BOE，则 AD=BE， OD=OE，即可得到点 B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式； （2）①由点 P 为线段 AC 上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点 P 与点 A 重 合时；点 P 与点 C 重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案； ②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点 M 在线段 OA 上，点 N 在 AB 上时；当点 M 在线段 OB 上，点 N 在 AB 上时；先求出直线 OA 和直线 AB 的解析式，然后利用 m 的式子 表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出 m 的值． 【详解】
解：（1）如图：作 AD⊥y 轴于点 D，作 BE⊥x 轴于点 E，
∴∠ADO=∠BEO=90°，
∵将 OA 绕点 O 逆时针旋转 90 后得到 OB，
∴OA=OB，∠AOB=90°， ∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°， ∴∠AOD=∠BOE， ∴△AOD≌△BOE， ∴AD=BE，OD=OE， ∵顶点 A 为（1，3）， ∴AD=BE=1，OD=OE=3，