函数y x2 px q,得：
｛1 p q 4 4 2 p q 5
解得，p 12, q 15.
所求的二次函数是y x2 12x 15
已知二次函数 y 2(x 1)2 4
（1）你能说出此函数的最小值吗？ 当x=1时,函数y有最小值为4
（2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？ x取任意实数
解：（1）a 0 (2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0, c 0
回顾知识:
一、正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么.
正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是一条经过原点的 直线. 二、一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么.
一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象也是一条直线.
上述三个问题中的函数表达式具有哪些共同的特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式.
(其中a,b,c是常数, a≠0 )
我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是
常数，a≠0)的函数叫做二次函数
称：a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项.
下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x 2
(l)求y关于 x的函数表达式和自变量x的取值范围；
(2)当x分别为0.25，0.5，1，1.5，
D
2–X
GX C
1.75 时 ，求对应的四边形EFGH的 X
面积y，并列表表示.
H 2–X
x 0.25 0.5 1 1.5 1.75
y
2
2–X
F
X
AX E
2–X
B
填表
x 0.25 0.5 1 1.5 1.75
（1） y=-3x2-x-1 （2）y=x2+x （3）y=5x2-6
请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数 的例子 （1）二次项系数是一次项系数的2倍， 常数项为任意值。
（2）二次项系数为-5，一次项系数为 常数项的3倍。
例1、若函数 y (m 2 1)xm2m 为二次函数， 求m的值。
4 ...
yy=12x2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0
0.5 2 4.5
8
...
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y=2x2 ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ...
x
... -3 -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2
3 ...
y 2 x2 3
y
25 8
5 2
2
5 25 28
请大家分析上表，分组讨论一下：
(1)随着x的取值的增大，y的值有怎样的变化？ (2)当x为多少时，四边形EFGH的面积最小？
函数y ax2 bx c(其中a,b,c是常数)， 当a ,b ,c满足什么条件时
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
k 三、反比例函数 y （k ≠ 0）其图象又是什么.
x k 反比例函数 y x （k ≠ 0）其图象是双曲线.
二次函数y=ax²+ bx+c（a ≠ 0） 其图象又是什么呢？
二次函数y=ax2的图像
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y=x2 ... 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4
...
y= - x2 ... -4 -2.25 -1 -0.25 0 -0.25 -1 -2.25 -4 ...
函数图象画法
描点法
列表
注意：列表时自变量 取值要y均 匀 2和对称。
x
y x2
y1 x
描点 连线
画出下列函数的图象。
(1) y 1 x2 2
(2) y 2x2
(3) y 2 x2 3
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可的函数表达式表示下列问题情境中的两个 变量 y 与 x 之间的关系：
(1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm )
y =πx2
(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月 增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的 利润为y
是
(2) y 1 x2
(3) y x(1 x)
不是 是
(4) y (x 1)2 x2 不是
(5)y=3x-1 不是
先化简后判断
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、 常数项.
（1） y=-x2+58x-112 （2）y=πx2 2、指出下列函数y=ax²+bx+c中的a、b、c.
y = 2(1+x)2
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是
一个矩形，周长为120m , 室内通道的尺寸如图,设一
条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。
1
1
1
y = (60-x-4)(x-2)
x
3
1.y =πx2 2.y = 2(1+x)2 3.y= (60-x-4)(x-2) =2x2+4x+2 =-x2+58x-112
解：因为该函数为二次函数，
则
m 2 m 2， (1)
m
2
1
0.(2)
解（1）得：m=2或-1
解（2）得： m 1且m 1
所以m=2
例2：已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函 数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二 次函数的表达式.
解：把x=1,y=4和x=2,y=-5分别代入
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量 的取值范围都是任意实数呢？
例如：圆的面积 y (cm2 )与圆的半径 x
（cm)的函数关系是 y =πx2
其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
注意:当二次函 数表示 某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变 量的取值范围.
例3: 如图，一张正方形纸板的边长为2cm,将它 剪去4个全等的直角三角形 (图中阴影部分 ) ， 设AE=BF=CG=DH=x(cm)，四边形 EFGH的面积为 y(cm2)，求 :
y x2
用用用用自用自用自用自用自自光光光自光自左光左光左光左光左左滑滑滑左滑左向滑向滑向滑向滑向向曲曲曲向曲向右曲右曲右曲右曲右右线线线右线右顺线顺线顺线顺线顺顺连连连顺连顺次连次连次连次连次次结结结次结次连结连结连结连结连连时时时连时连结时结时结时结时结结要要要结要结要要要要

x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3