1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5)13(lim 2=-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

利用导数的定义求极限这种方法要求熟练的掌握导数的定义。

2．极限运算法则定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ⋅=⋅)()(lim（3）)0(,)()(lim成立此时需≠=B B Ax g x f说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。

. 利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。

通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。

8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例11213lim1--+→x x x解：原式=43)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例2)12(lim --+∞→n n n n解：原式=2311213lim12)]1()2[(lim=-++=-++--+∞→∞→nn n n n n n n nn 分子分母同除以。

例3 nn n n n 323)1(lim++-∞→解：原式11)32(1)31(lim 3=++-=∞→n n n n上下同除以 。

3．两个重要极限（1） 1sin lim 0=→x xx（2）ex xx =+→1)1(lim ； ex x x =+∞→)11(lim说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，例如：133sin lim0=→x xx ，ex xx =--→210)21(lim ，ex xx =+∞→3)31(lim ；等等。

利用两个重要极限求极限例5 203cos 1limx xx -→解：原式=61)2(122sin 2lim 32sin 2lim220220=⋅=→→x xx x x x 。

注：本题也可以用洛比达法则。

例6xx x 2)sin 31(lim -→解：原式=6sin 6sin 31sin 6sin 310])sin 31[(lim )sin 31(lim ---→-⋅-→=-=-e x x xx xx xxx x 。

例7nn n n )12(lim +-∞→解：原式= 。

313311331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-⋅-+∞→=+-+=+-+e n n n nn n n nn n4．等价无穷小定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。

定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-xe 。

说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时，13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。

定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当)()(lim110x g x f x x →存在时，)()(limx g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim110x g x f x x →，即)()(lim0x g x f x x →=)()(lim 110x g x f x x →。

利用等价无穷小代换（定理4）求极限例9)arctan()31ln(lim20x x x x +→解：)31ln(0x x +→时， ～x 3，)arctan(2x ～2x ， 原式=33lim20=⋅→x xx x 。

例10 x x e e xx x sin limsin 0--→解：原式=1sin )sin (lim sin )1(lim sin 0sin sin 0=--=--→-→x x x x e x x e e x x x x x x 。

注：下面的解法是错误的：原式=1sin sin lim sin )1()1(lim 0sin 0=--=----→→x x x x x x e e x x x x 。

正如下面例题解法错误一样：0lim sin tan lim3030=-=-→→x xx x x x x x 。

例11 x x x x sin )1sin tan(lim20→解：等价与是无穷小，时，当x x x x x x x 1sin )1sin tan(1sin0222∴→ ，所以， 原式=01sin lim 1sinlim020==→→x x x x x x x 。

（最后一步用到定理2）五、利用无穷小的性质求极限有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。

用等价无穷小替换求极限常常行之有效。

例 1. )11sin 1(lim 2--+→x x e x x 2. x x x ln )1sin(sin lim 0-→5．洛比达法则定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大； （2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0；（3）)()(limx g x f ''存在（或是无穷大）；则极限)()(limx g x f 也一定存在，且等于)()(lim x g x f ''，即)()(lim x g x f =)()(limx g x f '' 。

说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。

特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“00”型或“∞∞”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。

另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。

同时，洛比达法则还可以连续使用。

例12 203cos 1limx xx -→（例4）解：原式=616sin lim 0=→x x x 。

（最后一步用到了重要极限）例1312coslim1-→x xx π解：原式=212sin2lim1πππ-=-→xx 。

例1430sin limx x x x -→解：原式=203cos 1limx xx -→=616sin lim 0=→x x x 。

（连续用洛比达法则，最后用重要极限）例15 x x xx x x sin cos sin lim20-→ 解：313sin lim 3)sin (cos cos limcos sin lim202020==--=⋅-=→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 原式例18])1ln(11[lim 0x x x +-→ 解：错误解法：原式=0]11[lim 0=-→x x x 。

正确解法：。

原式21)1(2lim 2111lim )1ln(lim)1ln()1ln(lim0000=+=-+=⋅-+=+-+=→→→→x x x x x x x xx x x x x x x x x 应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。

例19x x x x x cos 3sin 2lim+-∞→解：易见：该极限是“00”型，但用洛比达法则后得到：x x x sin 3cos 21lim--∞→，此极限不存在，而原来极限却是存在的。

正确做法如下：原式=x xx x x cos 3sin 21lim+-∞→ （分子、分母同时除以x ）=31（利用定理1和定理2）6．连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0x 是函数)(x f 的定义去间内的一点，则有)()(lim 00x f x f x x =→ 。

利用函数的连续性（定理6）求极限例4xx ex 122lim →解：因为20=x 是函数xe x xf 12)(=的一个连续点，所以 原式=e e 42212= 。

7．极限存在准则定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。

四、利用单调有界准则求极限首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。

例1. 设0>a ，),2,1(,,,1121 =+=+=+==+n x a x x a a a x a x n n求极限n n x∞→lim 。

定理8（准则2） 已知}{,}{,}{n n n z y x 为三个数列，且满足：（1）),3,2,1(, =≤≤n z x y n n n （2） ay n n =∞→lim ，az n n =∞→lim则极限∞→n nx lim 一定存在，且极限值也是a ，即ax n n =∞→lim 。

10. 夹逼定理利用极限存在准则求极限 例20 已知),2,1(,2,211 =+==+n x x x n n ，求nn x ∞→lim解：易证：数列}{n x 单调递增，且有界（0<nx <2），由准则1极限nn x ∞→lim 存在，设 ax n n =∞→lim 。

对已知的递推公式nn x x +=+21两边求极限，得：a a +=2，解得：2=a 或1-=a （不合题意，舍去）所以2lim =∞→n n x 。

例21)12111(lim 222n n n n n ++++++∞→ 解： 易见：11211122222+<++++++<+n n nn n n n n n因为1lim2=+∞→nn n n ，11lim2=+∞→n n n所以由准则2得：1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n 。

9. 洛必达法则与等价无穷小替换结合法 对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算，收到奇效。

11. 泰勒展开法12. 利用定积分的定义求极限法积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。

8. 利用复合函数求极限十、利用级数收敛的必要条件求极限级数收敛的必要条件是：若级数∑∞=1nnu收敛，则lim=∞→nnu，故对某些极限)(lim nfn∞→，可将函数)(nf作为级数∑∞=1)(nnf的一般项，只须证明此技术收敛，便有)(lim=∞→nfn。