两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习
一、知识要点：
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)():sin()sin cos cos cos S αβαβαβαβ±±=±；
(2)():cos()cos cos sin sin C αβαβαβαβ±±=； (3)()tan tan :tan()1tan tan T αβαβαβαβ
±±±=. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)(2):sin 22sin cos S αααα=α；
(2)2222(2):cos2cos
sin 2cos 112sin C αααααα=-=-=-； (3)(2)22tan :tan 21tan T αααα
=-. 3．常用的公式变形
(1)tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±； (2)221cos 21cos 2cos ,sin 22
αααα+-==；
(3)221sin 2(sin cos ),1sin 2(sin cos )αααααα+=+-=-,sin cos )4π
ααα±=±.
4．函数()sin cos (,f x a x b x a b =+为常数),可以化为())),f x x x ϕθ=+=-其中()ϕθ可由,a b 的值唯一确定．
两个技巧
(1)拆角、拼角技巧：(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．
【双基自测】
1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14
的是( )． A ．22cos 112π- B ．20
12sin 75- C.0
202tan 22.51tan 22.5- D ．00sin15cos15 2．0000
sin 68sin 67sin 23cos68-=( )
A ．2- B.2．1
3．(2011·福建)若tan 3,α=则2sin 2cos αα
=( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
4．已知2sin ,3
α=则cos(2)πα-=( )．
A ．．19- C.195．(2011·辽宁)设1sin(),43
πθ+=则sin 2θ= ( )． A ．79- B ．19- C.19 D.79
6．0000tan 20tan 4020tan 40++=________.
7．若2tan(),45
πα+=则tan α=t________. 考向一 三角函数式的化简与求值
[例1] 求值：①00
00cos15sin15cos15sin15
-+；②00sin 50(1). [例2] 已知函数()2sin(),36
x f x x R π=-∈.
(1)求5()4f π的值；(2)设106,0,,(3),(32),22135f f ππαβαβπ⎡⎤∈+=+=⎢⎥⎣⎦
求cos()αβ+的值． 练习：
1．(1)已知3sin ,(,),52πααπ=∈
则cos 2)4
απα=+________. (2)(2012·济南模拟)已知α
为锐角，cos 5α=则tan(2)4πα+=( ) A ．3- B ．17- C ．43
- D ．7- 2．已知41,(0,),sin ,tan(),253
παβααβ∈=-=-求cos β的值． 考向二 三角函数的求角问题
[例3] 已知113cos ,cos(),714ααβ=-=且0＜β＜α＜2
π，求β. 练习：
1．已知,(,),22
ππαβ∈-且tan ,tan αβ
是方程240x ++=的两个根，求αβ+的值． 2．(2011·南昌月考)已知11tan(),tan ,27αββ-=
=-且,(0,),αβπ∈α，β∈(0，π)，求2αβ-的值． 3．已知锐角,αβ
满足sin αβ==求：①αβ-的值；②αβ+的值． 考向三 三角函数公式的逆用与变形应用
[例4] (2013·德州一模)
已知函数2()2cos 2
x f x x =. (1)求函数()f x 的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且1(),33f πα-
=求cos 21cos 2sin 2ααα
+-的值． 练习： 1．(1)(2012·赣州模拟)
已知sin()cos 6π
αα++=则sin()3
πα+的值为( )
A. 45
B.35
C.2
D.5 (2)若3,4
παβ+=则(1tan )(1tan )αβ--的值是________． 考向四 角的变换
[例5] (1)(2012·温州模拟)若sin cos 3,tan()2,sin cos αααβαα
+=-=-则tan(2)βα-=_______. (2)(2012·江苏高考)设α为锐角，若4cos(),65πα+=则sin(2)12
πα+=________． 练习：
1．设21tan(),tan(),544παββ+=-=则tan()4
πα+=( ) A.1318 B.1322 C.322 D.16
2．已知0＜β＜2π＜α＜,π且12cos(),sin(),2925
βααβ-=--=求cos()αβ+的值． 考向五 三角函数的综合应用
【例4】►(2010·北京)已知函数2
()2cos 2sin f x x x =+. (1)求()3
f π
的值；(2)求()f x 的最大值和最小值． 【训练4】 已知函数()2sin()cos f x x x π=-.
(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间[,]62
ππ-上的最大值和最小值． 作业：
1．(2012·南昌二模)已知cos()63x π
-=-则cos cos()3
x x π+-的值是( )
A ．． C ．1- D ．1±
2． (2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知α满足1sin ,2α=那么sin()sin()44
ππαα+-=( ) A. 14 B ．14- C.12 D ．12
-
3． (2012·东北三校联考)设,αβ都是锐角，且3cos ),5ααβ=
+=则cos β=( )
4．已知α为第二象限角，sin cos 3
αα+=则cos2α=( )
A ．．
5．已知sin()sin 32
π
παα++=-<α<0，求cos α的值． 6．求值：①000000sin 7sin8cos15cos 7sin8sin15+-；②00
02cos10sin 20sin 70
-；③000cos 20cos 40cos80． 7．已知：0<α<2π<β<4,cos()45
ππβ-=. (1)求sin 2β的值；(2)求cos()4π
α+的值．
8．已知,αβ都是锐角，且45cos ,cos(),513
ααβ=+=-求cos β的值． 9．(2012·衡阳模拟) 函数()cos()sin(),22x
x f x x R π=-+-∈.
(1)求()f x 的最小正周期；(2)若()(0,),52f παα=∈求tan()4
πα+的值．
10．(2012·北京西城区期末)已知函数2()sin cos ,[,]2f x x x x x π
π=+∈.
(1)求()f x 的零点；(2)求()f x 的最大值和最小值．
11．已知
3335
(,),(0,),cos(),sin(),
44445413
πππππ
αβαβ
∈∈-=+=求sin()
αβ
+的值．
12．已知
1 tan()2,tan
42
π
αβ
+==．
①求tan2α的值；②求sin()2sin cos
2sin sin cos()
αβαβ
αβαβ
+-
++
的值．。