江苏省海安高级中学2019届高三数学12月月考试题一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．设全集U =R ，若集合{}{}1234|23A B x x ==，，，，≤≤，则B C A U . 2．已知复数z 满足30z z+=，则||z = . 3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 .4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 .5．双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，3则其渐近线方程为 .6．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ． 7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ． 8．若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 .9．若12cos cos sin sin sin 2sin 223x y x y x y +=+=，，则()sin x y += .10．已知数列{}n a 和{}n b ，其中2()n a n n *=∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n *∈N ，数列{}n b 中的第n a 项等于{}n a 中的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b = .11．设函数()332x x x af x x x a ⎧-=⎨->⎩，≤，，若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是 ．12．在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为BC 边上的一点，ABD △与ACD △面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅= ．13． 已知圆O ：221x y +=，定点()30A ，，过点A 的直线l 与圆O 相较于B ，C 两点，两点B ，C 均在x 轴上方，若OC 平分AOB ∠，则直线l 的斜率为 .14．已知正实数a ，b 满足23a b +=，则222122a b a b +-++的最小值是 ． 二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA =PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.（1）求证：PE ⊥BC ； （2）求证：EF ∥平面PCD .16．已知函数f (x )=4tan sin cos 323x x x ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求f (x )的定义域与最小正周期； （2）讨论f (x )在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的单调性.17．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向2cos θ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．（1） 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； （2） 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？18．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>6，焦距为22斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，求AB 的最大值；（3）设(20)P -，，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ，D 和点71()44Q -，共线，求k .19．已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)02nn n n n n n b a a b a b ++++-++==，，*n ∈N ，且 1224a a ==，．（1）求345a a a ，，的值；（2）设*2121n n n c a a n -+=+∈N ，，证明：{}n c 是等比数列； （3）设*242k k S a a a k =++⋅⋅⋅+∈N ，，证明：4*17()6nk k kS n a =<∈∑N ．20．已知函数ln ()xf x x=，2()2g x x x =-． （1）求()f x 在点P (1，()1f )处的切线方程；（2）若关于x 的不等式2()()0f x tf x +>有且仅有三个整数解，求实数t 的取值范围；（3）若()()4()h x g x xf x =+存在两个正实数1x ，2x 满足221212()()0h x h x x x +-=，求证：123x x +≥．高三阶段测试数学试卷一.填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．.{}14， 2．33． 564． 1155． 2y x =± 6． 1 7． 2 8． 3π9．23 10． 2 11． 1a <- 12． 1615-13． 514．135 二.解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．【解析】（1）∵PA PD =，且E 为AD 的中点，∴PE AD ⊥.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，∴PE ⊥平面ABCD .∵BC ⊂面ABCD ，∴PE ⊥BC .（2）如图，取PC 中点G ，连接,FG GD .∵,F G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG BC ∥，且12FG BC =. ∵四边形ABCD 为平行四边形，且E 为AD 的中点， ∴1,2ED BC DE BC =∥， ∴ED FG ∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， ∴EF GD ∥.又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ， ∴EF ∥平面PCD . 16．【解析】（1）()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭. ()4tan cos cos 34sin cos 333f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213=4sin cos 32sin cos 2332x x x x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭)=sin 231-cos 23sin 232=2sin 23x x x x x π⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭.所以, ()f x 的最小正周期2.2T ππ== （2）由222232k x k πππππ-+≤-≤+,得5,.1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 设5,,,441212A B x k x k k Z ππππππ⎧⎫⎡⎤=-=-+≤≤+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，易知,124A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.所以, 当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,()f x 在区间,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间412ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上单调递减.17．【解析】（1）如图建立直角坐标系，则城市()00A ，，当前台风中心(3022102P -， 设t 小时后台风中心P 的坐标为(),x y ，则30222102102x t y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为6010t +，10小时后，184.4PA ≈km ，台风的半径为=r 160km ， 因为r PA <，故10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A . （2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以()3021022102102P t t -为圆心，6010t +为半径的圆，若城市A 受到台风侵袭，则()()()223021020210210260010t t t ⎡⎤⎡⎤--+-+-⎣⎦+⎦⎣210800864000300t t -+⇒≤，即2362880t t -+≤，解得1224t ≤≤ 答：该城市受台风侵袭的持续时间为12小时. 18．【解析】（1）由题意得222c =，所以2c =又6c e a ==，所以3a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则222212121264||1|1()42m AB k x x k x x x x -=+-=++-=，易得当20m =时，max ||6AB =，故||AB 6． （3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ②，又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =.19．【解析】（1）解：由3(1)2nn b +-=，*n ∈N ，可得12n n b n ⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数又1120n n n n n b a a b a +++++=，123123234434541202432205320 4.n a a a a a a n a a a a n a a a a =++====-=++==-=++==当时，，由，，可得；当时，，可得；当时，，可得（2）证明：对任意*,n N ∈2122120,n n n a a a -+++=①2212220,n n n a a a ++++=② 21222320,n n n a a a +++++=③ ②—③，得223.n n a a +=④将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+ 即*1()n n c c n N +=-∈又1131,0,n c a a =+=-≠故c 因此11,{}n n nc c c +=-所以是等比数列. （3）证明：由（2）可得2121(1)kk k a a -++=-，于是，对任意*2k k ∈N 且≥，有 133********()11(1)() 1.k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-，，，将以上各式相加，得121(1)(1),kk a a k -+-=-- 即121(1)(1)k k a k +-=-+，此式当k =1时也成立.由④式得12(1)(3).k k a k +=-+从而22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=-2124 3.k k k S S a k -=-=+所以，对任意*2n n ∈N ，≥， 44342414114342414()nnk m m m mk m k m m m mS S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑ 12221232()2222123nm m m m mm m m m =+-+=--++++∑ 123()2(21)(22)(22)nm m m m m ==++++∑2253232(21)(22)(23)nm m m n n ==++⨯+++∑21533(21)(21)(22)(23)n m m m n n =<++-+++∑ 151111113[()()()]3235572121(22)(23)n n n n =+⋅-+-++-+-+++ 1551336221(22)(23)7.6n n n =+-⋅++++<对于n =1，不等式显然成立. 所以，对任意*,n N ∈2121212212n nn nS S S S a a a a --++++ 32121241234212()()()n nn nS S S S S S a a a a a a --=++++++ 22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)n n n=--+--++----- 22211121()()()41244(41)44(41)n n n n n =-+-+--+-- 111().4123n n -+=-≤20．【解析】（1）ln ()xf x x=，(1)0=f ，所以P 点坐标为(1,0)； 又21ln '()xf x x -=，'(1)1=f ，则切线方程为01-=-y x ， 所以函数()f x 在点(1,(1))P f 处的切线方程为10--=x y ． （2）21ln '()(0)-=>xf x x x x(0,)ee(,)e +∞'f x +0 -f x单调增极大值单调减由2()()0f x tf x +>， 得()[()]0+>f x f x t ；① 0t >时，()0f x >或()f x t <-，满足条件的整数解有无数个，舍； ② 0t =时，()0f x ≠，得0x >且1x ≠，满足条件的整数解有无数个，舍； ③ 0t <时，()0f x <或()f x t >-，当()0f x <时，无整数解；当()f x t >-时，不等式有且仅有三个整数解，又ln3(3)3f =，ln 2(2)(4)2f f ==，ln5(5)5f = 因为()f x 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减；所以(5)(4)f t f ≤-<， 即ln5ln 252t ≤-<，即ln 2ln525t -<≤-；所以实数t 的取值范围为ln 2ln525t -<≤-． （3）2()24ln =-+h x x x x ，因为221212()()0+-=h x h x x x ， 所以22221112221224ln 24ln 0x x x x x x x x -++-+-=， 即2221212121212()2()24ln x x x x x x x x x x +-+=+-， 令12t x x =，2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->，则2(1)(2)4()22(0)t t t t t t tϕ-+'=+-=>， 当(0,1)t ∈时，()0t ϕ'<，所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在(0,1)上单调递减； 当(1,)t ∈+∞时，()0t ϕ'>，所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在(1,)+∞上单调递增． 所以函数2()24ln (0)t t t t t ϕ=+->在1t =时，取得最小值，最小值为3．因为存在两个正实数12,x x ，满足221212()()0+-=h x h x x x ，所以21212()2()3x x x x +-+≥， 即21212()2()30x x x x +-+-≥，所以123x x +≥或121x x +-≤．因为12,x x 为正实数，所以123x x +≥．（附加题）21．（B ）【解析】由题知，==-1·=⇒ 所以a=2，b=2，M=. det(M )==1×2-2×3=-4，所以M -1=.21．（C ）【解析】（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-，当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(12)，在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-． 22．【解析】(1) 因为直线y=n 与x=-1垂直，所以MP 为点P 到直线x=-1的距离. 连接PF ，因为P 为线段MF 的中垂线与直线y=n 的交点，所以MP=PF.所以点P 的轨迹是抛物线， 焦点为F (1，0)，准线为x=-1.所以轨迹E 的方程为y 2=4x.(2) 由题意，过点M (-1，n )的切线斜率存在，设切线方程为y -n=k (x+1)， 联立 得ky 2-4y+4k+4n=0， 所以Δ1=16-4k (4k+4n )=0，即k 2+nk -1=0，(*)因为Δ2=n 2+4>0，所以方程(*)存在两个不相等的实数根，设为k 1，k 2，因为k 1·k 2=-1，所以∠AMB=90°，为定值.23．【解析】(1) 由题意知P 2==，即P 2的值为.(2) 先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为=; 去掉第n 行已经排好的n 个数，则余下的- n=个数中最大数在第n -1行的概率为=;… 故P n =··…·==. 由于2n =(1+1)n =+++…+≥++>+=，所以>，即P n>.。