采用“光学镜面反射”条件思想： ¾ 当一束X射线照射到晶体上时, 发生镜面反射 ¾ 散射线、入射线与晶面法线共面，且在法线两
侧 ¾ 散射线与晶面的交角等于入射线与晶面的交角
2012年3月23日
36
晶体: 看作由许多 平行等距的原子面 堆积而成
晶面指数（hkl）
d
2012年3月23日
1 原子面 2 原子面 3 原子面 4 原子面
例
B
0,0, 1 3
0,0,1
0,0, 2 3
0, 1 ,0 2
A
2 0, ,0
3 0,1,0
1,0,0
A： 第一步：确定交点的坐标： x 轴：1, y 轴：1/2, z 轴：1/3 第二步：取倒数：1，2，3 第三步：消除分数。因无分数， 直接进入下一步。 第四步：加圆括号，不加逗号， 得到：(123) B： 第一步：确定交点的坐标： x 轴：1, y 轴：2/3, z 轴：2/3 第二步：取倒数：1，3/2，3/2 第三步：消除分数：
4
Base-centered Bady –centered Face -centered
5
6
7
a ≠ b ≠ c, α = β = γ = 90°
六方晶系 Hexagonal
三方(菱形)晶系 Rhombohedral
9
α
8
α c
a
a a
a
a = b = c, α = β = γ ≠ 90°
a = b ≠ c, α = β = 90°, γ = 120°
结构基元：在晶体中重复出现 的基本单元；在三维空间周期 排列；为简便,可抽象几何点 空间点阵：上述几何点在空间 的分布，每个点称为点阵点。
第2章 X射线衍射分析
第三节 X射线衍射的基本
理论
一、倒易点阵 二、X射线衍射几何条件 三、X射线衍射束的强度
•如将空间点阵中各点阵点换上具体内容--结构 基元(原子、离子、分子、基团等），即得到具 体的晶体结构。
点发出。
2012年3月23日
31
1. Laue方程
一维点阵 原子间距a
散射X射线
入射X射线
相邻两原子的散射线的光程差： δ = OQ – PR = a(cosα1′′− cosα1′)
2012年3月23日
32
散射波互相干涉加强 形成衍射线 的条件为光程差 是波长的整数倍，即：
δ = a(cosα1′′− cosα1′) = H λ
例 1 某 斜 方 晶 体 的 a=7.417Å,
c=2.547Å, 计算d110和d200。
1 = h2 + k2 + l2
d2 hkl
a2
b2
c2
b=4.945Å,
1 = 12 + 12
d2 110
7.4172
4.9452
d110 =4.11Å
1 = 22
d2 200
7.4172
d200=3.71Å
四方晶系Tetragonal
Simple c
Body
c
-centered
a a
10
a a
11
a = b ≠ c, α = β = γ = 90°
立方晶系
(Cubic system)
a
a
a
a a Simple
12
a a Body -centered
13
a a Face –centered
14
a = b = c, α = β = γ = 90°
正交（斜方）
1
h2 k2 l2
d
2 hkl
=
a2
+ b2
+ c2
单斜
1 d2
hkl
=
h2 a2 sin2
β
+
k2 b2
+
l2 c2 sin2 β
−
2hl cos β ac sin2 β
三斜
1=
1
d2 hkl
(1+ 2cosα cos β cosγ − cos2 α − cos2 β − cos2 γ )
×
[
h2
sin a2
2
α
+
k 2 sin2 β b2
+
l 2 sin2 γ c2
+
2hk ab
(cosα cos β
− cosγ )
+ 2kl (cos β cosγ − cosα ) + 2hl (cos γ cosα − cos β )]
bc
ac
晶面夹角(其法线间的夹角）的计算
极其复杂， 对于等轴晶体， 有： cosΦ=(h1h2+k1k2+l1l2)/[(h12+k12+l12) (h22+k22+l22)]1/2 对于四方晶体， 有： cosΦ=c2(h1h2+k1k2)+a2l1l2/[[c2(h12+k12)+a2l12] c2(h22+k22)+a2l22)]]1/2
衍射花样和晶体结构什么关系？
二、X射线衍射几何条件
2012年3月23日
24
二、X射线衍射几何条件
二、X射线衍射几何条件
2012年3月23日
25
2012年3月23日
26
二、X射线衍射几何条件
• 衍射的本质是晶体中各原子相干散射 波叠加（合成）的结果。
• 衍射波的两个基本特征——衍射线（ 束）在空间分布的方位（衍射方向） 和强度，与晶体内原子分布规律（晶 体结构）密切相关。
1× 2 = 2 3/2 × 2 = 3 3/2 × 2 = 3 第四步：加圆括号，不加逗号， 得到：(233)
常见晶面的Miller指数
(312)
(211)
常见晶面的Miller指数
(001) (100)
(001)
(110) (111)
a/2 a/4 (100)
原点
(400) (200)
原点
440 220 110
37
（1）对于单一原子面的反射
δ = PAP '− QBQ ' = AB cosθ − AB cosθ = 0
即原子A、B的散射波在“反射”方向是同位相， 同理其他各原子也同位相， 因此它们将互相干涉加强，形成衍射光束。
2012年3月23日
38
（2）对于多原子面的反射
光程差：
δ = QA'Q' − PAP' = SA' + A'T 干涉加强产生衍射的条件：
晶面符号
确定晶体平面Miller指数的步骤
1.确定平面与三个坐标轴上的交点。平面不能通过原点。 如果平面通过原点，应移动原点。 2.取交点坐标的倒数（所以平面不能通过原点）。如果平 面与某一坐标轴平行，则交点为∞，倒数为零。 3.消除分数，但不化简为最小整数。负数用上划线表示
晶面指数通常用（hkl）表示。
……… n不能无限取值！
说明：当λ和d选 定后，衍射线的数 目是一定的，只能 在几个方向“反 射”X射线，称选择 反射。
2d sin θ = nλ (n为 整 数 )
sin θ = nλ 2d
Q sin θ ≤ 1 ∴ nλ ≤ 1
2d n ≤ 2d
λ
2012年3月23日
43
选择反射例题1：
Al, 面心立方, 已知a=0.405nm. 用Cu λ =0.15416nmka射线照 射, 问(1.1.1.)面网组能产生多少条射线?
三斜晶系 triclinic
1
c βα
γ
b
a
a ≠ b ≠ c, α ≠ β ≠ γ ≠ 90°
单斜晶系 monoclinic
2c
Simple
α a
3
c
α
a
b
b
Base-centered
a ≠ b ≠ c, β = γ = 90° ≠ α
斜方晶系
Orthorhombic
c c
a b
a b
Simple
研究X射线衍射可归结为两方面的问题： 衍射方向和衍射强度
2012年3月23日
27
二、X射线衍射几何条件
透射束斑
X射线穿过晶体产生衍射
2012年3月23日
¾ 当一束X 射线 投射到某一晶体 时，在晶体背后置 一照相底片，会发 现在底片上存在有 规律分布的斑点. ¾ 在特定的方向 上出现散射线加强 而存在衍射斑点， 其余方向则无衍射 斑点。
对晶面指数的说明
1. h,k,l三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。 2. 其中某一数为“0”，表示晶面与相应的晶轴平 行，例如(hk0)晶面平行于c轴；(h00)平行于b,c轴 3. 晶面指数不允许有公约数，即hkl三个数互质。 4. 若某晶面与晶轴相截在负方向，则相应指数上 加一横。
晶面间距的计算
...... n=0 透射波
2012年3月23日
30
X射线方程
衍射线方向由晶体点阵参数与入射线方向、入射线 波长之间的关系决定。确定衍射方向(几何条件)的 几种方法：
劳厄方程、 Bragg定律、 厄瓦尔德图解
三点假设： ¾ 入射线、衍射线为平面波。 ¾ 晶胞中只有一个原子——简单晶胞。 ¾ 原子尺寸忽略不计，各电子相干散射波由原子中心
28
波的合成
波程差△A=nλ(n=0, 1, 2,…)
合成振幅等于两个波 原振幅的叠加
2012年3月23日
波程差△B=(n + 1/2)λ (n=0, 1, 2,…)