2
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1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征
名称
棱柱
知识梳理 棱锥
图形
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棱台
3
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底面
互相___平__行____且 ___全__等____
多边形
互相___平__行____且 ___相__似____
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4.(2016·全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A.12π
B.332π
C.8π
D.4π
解析 设正方体的棱长为 a，则 a3＝8，解得 a＝2.设球的半径为 R，则 2R＝ 3a，
即 R＝ 3.所以球的表面积 S＝4πR2＝12π.
∴底面圆半径 r＝ OA2－OM2＝ 23，故圆柱体积 V＝π·r2·h＝
π·
232×1＝34π.
答案 B
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6.(2019·菏泽一中月考)用斜二测画法画水平放置的矩形的直观图，则直观图的面积与 原矩形的面积之比为________.
解析 设原矩形的长为 a，宽为 b，则其直观图是长为 a，高为b2sin 45°＝ 42b 的平
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3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
侧面展开图
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圆台
侧面积公式 S圆柱侧＝___2_π_rl_____
S圆锥侧＝___π_rl___ S圆台侧＝__π_(_r_1＋__r_2_)l_
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4.空间几何体的表面积与体积公式
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2.(必修2P10B1改编)如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一 部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是( )
A.棱台
B.四棱柱
C.五棱柱
D.六棱柱
解析 由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.
答案 C
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2
行四边形，所以S直观＝ S矩形
4abab＝
2 4.
答案
2 4
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考点一 空间几何体的结构特征
【例1】 (1)给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
V＝___43_π_R_3____
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[微点提醒] 1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点. 2.正方体的棱长为a，球的半径为R，则与其有关的切、接球常用结论如下 ：
(1)若球为正方体的外接球，则 2R＝ 3a； (2)若球为正方体的内切球，则 2R＝a； (3)若球与正方体的各棱相切，则 2R＝ 2a. 3.长方体的共顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R＝ a2＋b2＋c2. 4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.
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解析 (1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不 一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成 的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体； ③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延 长线交于一点，但是侧棱长不一定相等. (2)①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形， 但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行 于侧棱，又垂直于底面；③正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1 中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；④正确，由棱台 的概念可知. 答案 (1)A (2)②③④
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1
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第1节 空间几何体的结构及其表面积、体积
考试要求 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简 单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.知道 球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际 问题；3.能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其 简单组合)的直观图.
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规律方法 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念， 要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例. 2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各 元素的关系. 3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为 锥”的解题策略.
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规律方法 1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标
轴成 45°或 135°)和“二测”(平行于 y 轴的线段长度减半，平行于 x 轴和 z 轴的线段
长度不变)来掌握.
2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S 直观图
＝
2 4S
原图形.
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考点三 空间几何体的表面积 【例3】 (1)若正四棱锥的底面边长和高都为2，则其全面积为________.
(2)圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°，那么圆台的表面积为________(结果中保留π). (3)如图直平行六面体的底面为菱形，若过不相邻两条侧棱的截面的面积分别为Q1， Q2，则它的侧面积为______.
__扇__环____
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2.直观图 空间几何体的直观图常用___斜__二__测____画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、 z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为___4_5_°__(或__1_3_5_°__)_，z′轴与x′轴、y′轴 所在平面___垂__直___. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别___平__行__于___坐标轴.平行于x轴和 z轴的线段在直观图中保持原长度__不__变____，平行于y轴的线段长度在直观图中变为 原来的___一__半___.
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【训练2】 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均
为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )
A.2＋ 2
1＋ 2 B. 2
2＋ 2 C.
D.1＋ 2
解析 恢复后的原图形为一直角梯形，
所以 S＝12(1＋ 2＋1)×2＝2＋ 2.故选 A. 答案 A
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(2)如图所示，设圆台的上底周长为C，因为扇环的圆心角是180°， 所以C＝π·SA. 又C＝2π×10＝20π，所以SA＝20. 同理SB＝40. 所以AB＝SB－SA＝20. S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底＝π(r1＋r2)·AB＋πr21＋πr22＝π(10＋20)×20＋ π×102＋π×202＝1 100π(cm2).
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3.(必修2P27练习1改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则
底面圆的半径为( )
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
3 D.2 cm
解析 由题意，得S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝ 2(cm). 答案 B
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【训练1】 下列命题正确的是( ) A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的 旋转体是圆台 D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 解析 如图所示，可排除A，B选项.只有截面与圆柱的母线平行 或垂直，则截得的截面为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分. 答案 C
圆锥
圆台
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球
母线
互相平行且相等， 相交于__一__点__
__垂__直____于底面
延长线交于 ___一__点___
轴截面 全等的___矩__形__ 全等的_等__腰__三__角__形___ 全等的_等__腰__梯__形___ __圆____
侧面展开图 ___矩__形___
___扇__形___
几何体
名称
表面积
柱体(棱柱和圆柱)
S 表面积＝S 侧＋2S 底
锥体(棱锥和圆锥)
S 表面积＝S 侧＋S 底
台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
球
S＝___4_π_R_2____
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