. 从 x 轴正向看去 ,
取逆时针方向
z

.
n
x y 3 2

o
D xy
y
x y
1 2
x
例3、计算曲线积分


x zdx xy dy z dz , 其中
2 2 2 2
是抛物面 z 1 x
y 位于第一卦限部分
2
的边界曲线 . 从 z 轴正向看去 , 取逆时针向 .
P y
)dxdy

Pdx


Qdy Rdz .
斯托克斯公式：
( y

R

Q z
)dydz
( z
Байду номын сангаас
P

R x
)dzdx
( x

Q

P y
)dxdy

Pdx


Qdy Rdz .



dydz x P cos x P
(1 )
正向边界 为光滑或分段光滑的闭
如果函数 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) C 则有
( ),
( y

R

Q z
)dydz
( z

P

R x
)dzdx
( x

Q

dzdx y Q cos y Q
dxdy z R cos z R
关键：
求出 cos , cos , cos , 先化为第一类曲线积分 再化为二重积分计算
dS
, .



（1）斯托克斯公式的证明思路： 曲面积分
1
二重积分
2
曲线积分
（2）斯托克斯公式的实质：
z
1
y
n
1
0
1
x
D xy
y
1
o
D xy
x
1
例2、计算曲线积分


( y z ) dx ( z x ) dy ( x
2 2 2 2
2
y ) dz ,
2
其中 是平面 x y z
3 2
截立方体
: 0 x 1,
0 y 1 , 0 z 1的表面所得截痕
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上 的曲线积分之间的联系。 （3） 斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
)
( 是 xoy 面上的平面区域时
例1、计算曲线积分
zdx

xdy ydz , 其中 是平面 三角形的 .
x y z 1 被三个坐标面所截成的
整个边界 . 从 z 轴正向看去 , 取逆时针方向
( F e ) ds .
斯托克斯公式的物理解释：
向量场 F 沿有向闭曲线 向量场 F 的旋度场通过
的环流量等于 所张的曲面的
)
通量 .( 的正向与 的侧符合右手法则
作业 习题8-7：3
第七节
一、斯托克斯公式


斯托克斯公式与散度
: 的正向边界曲线
.
规定如下 :
当人位于 指定侧的边界 行走时 , 若邻近处的 始终位于人的左侧 即为


, 则此
.
与 的侧的指向符合右手法
则.
设 定理： 是一张光滑或分片光滑

的定向曲面 , 的 曲线 .
Q P R Q P ( )i ( )j ( )k y z z x x y R
斯托克斯公式的旋度表示：


rot F d S


F dr

环流量： 沿定向闭曲线 F
的积分


F dr


z
y
x
2
y
2
1
o
y
o
x
x
二、旋度 定义：C
(1 )
向量场 F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j Q ( x , y , z ) k
在点 ( x , y , z ) 处的旋度 i j k rot F x y z P Q R