这种万事万物所共有的内在特质——“数 (量)”与“形（态）” ，乃是数学科学的两 大柱石。
两大柱石
数
形
1,2,3…
世间万事万物不是 静态不变的，而是 不断在运动和变化 着。
运动和变化体现在 事物的内在特质上， 就是“形”的变换 和“量”的增减。
形的变换有各种各 样，有描述位移的 平移、旋转等刚体 变换
数学之比喻
数学像游戏，离不开 道具和规则。
数学中，各种集合是 道具，而在各种集合上赋 予的各种结构是规则。
数学之比喻
数学像演戏，离不开 演员和剧本。
数学中，各种集合是 演员，演员被分配了角色 才能演戏。
比如：
实数集
就是数学的一种道具，
要在其上赋予
代数结构、顺序结构、拓扑结构，
才能展开数学理论。
n
中间四个数字之和； 三角形四数字之和； 斜矩形四角数字之和 ……
多种方案： 4n+48；
对角线（主或副）数字之和； 中间四个数字之和； 三角形四数字之和； 斜矩形四角数字之和 ……
（3）数学结论的形式 确立对象，形成概念；
探索性质、关系等本质规律。
数学理论的建立与表达依靠数学思维。数学思 维包括多个方面，归纳、模拟、演绎、计算 等，但概括地讲，包含三大方面：“构造”、 “计算”与“证明”。
数学欣赏数学之魂
思考几个问题
数学是什么？ 为何学数学？ 数学有用吗？ 数学容易吗？ 数学有趣吗？ 数学美丽吗？
@ 数学有多重要？
一个人不识字甚至不会说话可以生 活，但是若不识数，就很难生活。
一个国家的科学进步，可以用它消 耗的数学来度量。
语言，交流的工具；数学，思维的体操！
课程目的
为你打开一扇窗户，开启你认识世界的 通道，欣赏数学的美丽与神奇；
也有描述缩放、透 视的相似、仿射、 直射等射影变换
还有描述物体拉伸、 扭转的拓扑变换。
这就形成了各种各样的几何学。
量的增加，衍生出一种基本运 算——加法。
在量的变化中，先增加２，再增 加３，与先增加３，再增加２，其结 果无异，这就衍生出加法运算的交换 律……
数字或者更一般的抽象元素等被 赋予运算，具有一定规则和规律，就 构成了代数学。
刘谦的依据： 四角数字和4+7+25+28 = 64
我的答案：4n + 48
其它规律： （1）设n为右上角数字， 则和 S = 4n + 36； （2）设n为第二行首位 数字，则和S = 4n + 20； （3）设n为第二行末位 数字，则和S = 4n + 8；
更多方案：
规律
对角线（主或副）数字之和；
（2）数学的目标 发现各种事物的本质； 建立不同事物的联系； 寻找不同事物的共性。
探索事物发展的规律，揭示事物现象的奥秘， 用以描述与理解自然和社会现象，以便对发 展方向进行判断、控制、改良和预测。
一个例子 魔术大师刘谦使用 但却不明白的问题： 刘谦预测：64
选定数字和18+13+26+7=64
几何
空间形式的 科学：位置 关系、结构 形式占主导 ，培养直觉 能力和洞察 力。
2
数学的内容
共性、本质、规律——万物之理
数学的内容
一种对象的内在性质
概念
结论
不同对象的联系
（事物分类）（定理 公式 法则）
多种对象的共性
数学的内容
发现本质 探索奥秘 揭示规律 建立联系 寻求共性
永恒
(1)数学的研究内容——结构与模式 数学是研究结构与模式的科学
（3）数学结论的形式 对象存在性 对象结构 对象性质 不变性与不变量 建立模型与设计算法等。
数学如何做
建立的程序：由自明事实出发，合情 推理（归纳、类比）找方向，演绎推 理定结论。
建立的方法：分类、化归、归纳、类 比、抽象化、符号化、模型化、公理 化、最优化。
1
数学建立的程序
始于公理，成于推理，表为定理
本章内容
1 数学的对象与内容
2 数学的方法与特点
数学做什么
对象：万物之本——数与形； 内容：万象之谜，万事之理；
1
数学的对象 数与形——万物之根
恩格斯说……
数学是研究现实 世界的数量关系和空 间形式（简称数与形） 的科学。
万物共有数与形
世间万事万物，不论是有生命的，还是 没有生命的；不论是动物，还是植物；不论 是自然形成的，还是人工创造的；不论是气 态、液态，还是固态；不论是在宏观世界， 还是在微观世界……,它们均以一定的形态存 在于空间之中，并受诸如长度、面积、体积、 质量、浓度、温度、色度等各种量的制约。
数学理论建立的方式
从少许自明的结论（公理）出发 用逻辑演绎（三段论）的方法 推出新的结论（定理、公式）
帮你擦Байду номын сангаас一双眼睛，丰富你观察世界的 方式，认识数学的本质与价值；
给你武装一副头脑，提升你改造世界的 能力，掌握数学的思想与方法。
数学之魂 数学之美
主要 内容
数学之趣 数学之妙
数学之奇 数学之问
数学欣赏A
数学之魂
The Soul of Mathematics
数学之魂，追根求源
研究对象——数与形，为万物共有，是万物之本； 研究内容——数形变化关系与规律，反映的是物质 世界的运动规律与相互关系，是万物之理； 建立基础——公理系统，其结论直白，道理自明； 建立方法——演绎推理（三段论），其形式简洁， 层次清晰，结构严谨，推论无疑. 数学关注万物共性与本质，揭示万象之理与奥秘， 其基础简明稳固，方法科学普适，结论精准可靠， 这是数学的灵魂，是数学价值和美、理、奇、妙、 趣的根源.
基本对象: 集合 + 结构。
数学中基本的集合包括： ➢ 各种数的集合； ➢ 各类图形； ➢ 各类函数； ➢ 各种空间； ➢ 一般的抽象集合等 ➢ ……
数学中的基本结构有三种：
➢ 代数结构（反映“合作”关系的各 种运算及其算律）;
➢ 顺序结构（反映对比关系的大小、 先后，反映隶属关系的蕴涵）;
➢ 拓扑结构（反映亲疏程度与规模大 小的距离）。
作为万事万物 所共有的内在特质“数”与“形”，
附以反映万事万物变化规律 的运算、变换及其规则，
就是数学。 古典数学如此，
现代数学的本质也是如此。
代数
数量关系的科 学：数量关系 、顺序关系占 主导，培养计 算与逻辑思维 能力。
分析
数形关系的科学 ：量变关系、瞬 间变化与整体变 化关系占主导， 函数为对象、极 限为工具，培养 逻辑思维能力和 建模能力。