专题训练(二)二次函数图象与a，b，c，b2－4ac等符号问题二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与a，b，c及判别式b2－4ac的符号之间的关系：一、选择题1．2016·宁波已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( ) A．当a＝1时，函数图象过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2－ZT －1所示，则下列关系式错误的是( )图2－ZT －1A ．a ＜0B ．b ＞0C ．b 2－4ac ＞0 D ．a ＋b ＋c ＜03．以x 为自变量的二次函数y ＝x 2－2(b －2)x ＋b 2－1的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是( )A ．b ≥54 B ．b ≥1或b ≤－1C ．b ≥2D ．1≤b ≤24．2017·威海已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2－ZT －2所示，则正比例函数y ＝(b ＋c )x 与反比例函数y ＝a －b －cx在同一坐标系中的大致图象是( ) 图2－ZT －2 图2－ZT －35．2017·安徽已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与反比例函数y ＝bx的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y ＝bx ＋ac 的图象可能是( )图2－ZT －46．2017·烟台二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图2－ZT －5所示，对称轴是直线x ＝1.下列结论：①ab ＜0；②b 2＞4ac ；③a ＋b ＋2c ＜0；④3a ＋c ＜0.其中正确的是( )图2－ZT －5A ．①④B ．②④C ．①②③D ．①②③④7．2017·鄂州如图2－ZT －6，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象交x 轴于点A (－2，0)和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝OC .下列结论：①2b －c ＝2；②a ＝12；③ac ＝b －1；④a ＋bc ＞0，其中正确的结论有( )图2－ZT －6A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．2017·齐齐哈尔抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－2，与x 轴的一个交点在(－3，0)和(－4，0)之间，其部分图象如图2－ZT －7所示，则下列结论：①4a －b＝0；②c ＜0；③－3a ＋c ＞0；④4a －2b ＞at 2＋bt (t 为实数)；⑤点⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点，则y 1＜y 2＜y 3.正确的结论有( )图2－ZT －7A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 二、填空题9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分如图2－ZT －8所示，则a 的取值范围是________．图2－ZT －810．2017·天水如图2－ZT －9是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点是B (4，0)，直线y 2＝mx ＋n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①abc ＞0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；④当1＜x ＜4时，有y 2＞y 1；⑤x (ax ＋b )≤a ＋b .其中正确的结论是________．(只填写序号)图2－ZT －911．2017·株洲如图2－ZT －10，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A (－1，0)，C (x 2，0)，且与y 轴交于点B (0，－2)，小强得到以下结论：①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c ＝－1；④当|a |＝|b |时，x 2＞5－1.以上结论中，正确的结论序号是________．图2－ZT －1012．如图2－ZT －11，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1，3，与y 轴负半轴交于点C .在下面五个结论中：①2a －b ＝0；②a ＋b ＋c >0；③c ＝－3a ；④当a ＝12时，△ABD 是等腰直角三角形；⑤使△ACB 为等腰三角形的a 的值可以有四个．其中正确的结论是________(只填序号)．图2－ZT －11三、解答题13．如图2－ZT －12，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于B ，C 两点，交y 轴于点A .(1)根据图象确定a ，b ，c 的符号；(2)如果OC ＝OA ＝13OB ，BC ＝4，求这个二次函数的表达式．图2－ZT －1214．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则这个函数的图象与x 轴交点的情况是怎样的？若无交点，请说明理由；若有交点，请说明有几个交点及交点分别在x 轴的哪个半轴上．详解详析专题训练(二) 二次函数图象与a ，b ，c ， b 2－4ac 等符号问题1．[答案] D2．[解析] D 抛物线开口向下，则a ＜0，所以A 选项的关系式正确；抛物线的对称轴在y 轴的右侧，a ，b 异号，则b ＞0，所以B 选项的关系式正确； 抛物线与x 轴有2个交点，则b 2－4ac ＞0，所以C 选项的关系式正确； 当x ＝1时，y ＞0，即a ＋b ＋c ＞0，所以D 选项的关系式错误． 3．[答案] A 4．[答案] C5．[解析] B 由公共点的横坐标为1，且在反比例函数y ＝bx 的图象上，当x ＝1时，y＝b ，即公共点的坐标为(1，b)．又点(1，b)在抛物线上，得a ＋b ＋c ＝b ，即a ＋c ＝0.由a≠0知ac ＜0，一次函数y ＝bx ＋ac 的图象与y 轴的交点在负半轴上，而反比例函数y ＝bx的图象的一支在第一象限，故b ＞0，一次函数的图象满足y 随x 的增大而增大，选项B 符合条件．故选B.6．[解析] C ①抛物线的开口向上，所以a>0.抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a ＝1，所以b<0，所以ab ＜0.所以①正确；②抛物线与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac>0，所以b 2＞4ac.所以②正确；③由图象知，当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c<0.又抛物线与y 轴交于负半轴，所以c<0，所以a ＋b ＋2c ＜0.所以③正确；④由抛物线的对称性知当x ＝3时，y ＝9a ＋3b ＋c>0.又－b2a ＝1，所以b ＝－2a ，所以3a ＋c>0.所以④错误．综上可知，正确的是①②③.故选C.7．[解析] C 在y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x ＝0时y ＝c ，∴C(0，c)，∴OC ＝－c.∵OB＝OC ，∴B(－c ，0)．∵A(－2，0)，∴－c ，－2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c·(－2)＝c a .∵c≠0，∴a ＝12，②正确；∵－c ，－2是一元二次方程12x 2＋bx ＋c ＝0的两个不相等的实数根，∴－c ＋(－2)＝－b12，即2b －c ＝2，①正确；把B(－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得0＝a(－c)2＋b·(－c)＋c ，即ac 2－bc ＋c ＝0.∵c≠0，∴ac －b ＋1＝0，∴ac ＝b －1，③正确；∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵抛物线的对称轴在x 轴左侧，∴－b 2a ＜0，∴b ＞0，∴a ＋b ＞0.∵抛物线与y 轴负半轴交于点C ，∴c ＜0.∴a ＋b c ＜0，④错误．8．[解析] B ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－2，∴－b 2a ＝－2，∴4a －b ＝0，故①正确；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝－2，与x 轴的一个交点在(－3，0)和(－4，0)之间，∴另一个交点位于(－1，0)和(0，0)之间，∴抛物线与y 轴的交点在原点的下方，∴c ＜0.故②正确；∵4a －b ＝0，∴b ＝4a.∵当x ＝－3时，y ＝9a －3b ＋c ＝9a －12a ＋c ＝－3a ＋c>0，故③正确；∵4a －b ＝0，∴b ＝4a ，∴at 2＋bt －(4a －2b)＝at 2＋4at －(4a －2×4a)＝at 2＋4at ＋4a ＝a(t 2＋4t ＋4)＝a(t ＋2)2.∵t 为实数，a ＜0，∴a(t ＋2)2≤0，∴at 2＋bt －(4a －2b)≤0，∴at 2＋bt≤4a－2b ，即4a －2b≥at 2＋bt ，∴④错误；∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，y 1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3是该抛物线上的点，∴将它们描在图象上可得由图象可知：y 1<y 3<y 2，故⑤错误． 综上所述，正确的有3个．故选B. 9．[答案] －1＜a ＜0[解析] ∵抛物线开口向下，∴a ＜0. ∵函数图象过点(0，1)，∴c ＝1. ∵函数图象过点(1，0)，∴a ＋b ＋c ＝0， ∴b ＝－(a ＋c)＝－(a ＋1)．由题意知，当x ＝－1时，应有y ＞0， ∴a －b ＋c ＞0， ∴a ＋(a ＋1)＋1＞0， ∴a ＞－1，∴a 的取值范围是－1＜a ＜0. 10．[答案] ②⑤[解析] ①根据函数图象的开口方向、对称轴、与y 轴交点可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0，故abc ＜0；②根据函数图象的顶点坐标可知，方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝1；③根据抛物线的对称性可知，抛物线与x 轴的另一个交点是(－2，0)；④根据函数图象，当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑤当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＝3≥x(ax＋b)＋c ，∴x(ax ＋b)≤a＋b.故正确的结论有②⑤.11．[答案] ①④[解析] 由抛物线的开口向上可知，a ＞0，且抛物线经过点A(－1，0)，B(0，－2)，对称轴在y 轴的右侧可得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝－2，－b 2a >0，即a －b ＝2，b ＜0，故a ＝2＋b ＜2.综合可知0＜a ＜2；由a －b ＝2可得a ＝b ＋2，将其代入0＜a ＜2中，得0＜b ＋2＜2，即－2＜b ＜0；当|a|＝|b|时，因为a ＞0，b ＜0，故有a ＝－b.又a －b ＝2，可得a ＝1，b ＝－1. 故原函数为y ＝x 2－x －2，当y ＝0时，即有x 2－x －2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2， 此时x 2＝2＞5－1.故答案为：①④. 12．[答案] ③④[解析] ∵抛物线与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1，3，∴AB ＝4，对称轴为直线x ＝－b2a ＝1，∴b ＝－2a ，即2a ＋b ＝0.故①错误；根据图象知，当x ＝1时，y ＜0，即a ＋b＋c ＜0.故②错误；∵点A 的坐标为(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0，而b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0，即c ＝－3a.故③正确；当a ＝12时，b ＝－1，c ＝－32，抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－x －32.设对称轴直线x ＝1与x 轴的交点为E ，∴把x ＝1代入y ＝12x 2－x －32，得y ＝12－1－32＝－2，∴点D 的坐标为(1，－2)，∴AE ＝2，BE ＝2，DE ＝2，∴△ADE 和△BDE 都为等腰直角三角形，∴△ABD 为等腰直角三角形．故④正确；要使△ACB 为等腰三角形，则必须保证AB ＝BC ＝4或AB ＝AC ＝4或AC ＝BC ，当AB ＝BC ＝4时，∵BO ＝3，△BOC 为直角三角形，OC 的长为|c|，∴c 2＝16－9＝7.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c ＝－7，与2a ＋b ＝0，a －b ＋c ＝0联立组成方程组，解得a ＝73； 当AB ＝AC ＝4时，∵AO ＝1，△AOC 为直角三角形，OC 的长为|c|，∴c 2＝16－1＝15. ∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c ＝－15，与2a ＋b ＝0，a －b ＋c ＝0联立组成方程组，解得a ＝153； 当AC ＝BC 时，在△AOC 中，AC 2＝1＋c 2，在△BOC 中，BC 2＝c 2＋9.∵AC ＝BC ，∴1＋c 2＝c 2＋9，此方程无解．∴只有两个a 值满足条件．故⑤错误．综上所述，正确的结论是③④.13．解：(1)∵抛物线开口向上，∴a>0. 又∵对称轴x ＝－b2a <0，∴a ，b 同号，即b>0.∵抛物线与y 轴交于负半轴，∴c<0. 综上所述，a>0，b>0，c<0. (2)∵OC＝OA ＝13OB ，BC ＝4，∴点A 的坐标为(0，－1)，点B 的坐标为(－3，0)，点C 的坐标为(1，0)．把A ，B ，C 三点的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，可得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝c ，0＝9a －3b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝23，c ＝－1，∴该二次函数的表达式是y ＝13x 2＋23x －1.14．解：∵a＞0，b ＜0，c ＜0，∴b 2－4ac ＞0， ∴这个函数图象与x 轴有两个交点．设这个函数图象与x 轴的交点坐标为(x 1，0)，(x 2，0)． ∵x 1·x 2＝ca ，a ＞0，c ＜0，∴x 1·x 2＜0，∴这个函数图象与x 轴有两个交点，一个交点在x 轴的正半轴上，另一个交点在x 轴的负半轴上．。