例 系统的幅相曲线如图所试，求传递函数。 K G ( s ) 由曲线形状有 s2 s 2 1 2 wn wn
由起点：
由(w0)：
G( j 0) K0
K 2
w2 2 w 2 [1 2 ] [2 ] wn wn w 2 wn G arctan w2 1- 2 wn
(1
G( j 0) 10 G( j ) 0 180
w2 2 w [1 2 ] [2 ]2 wn wn w 2 wn G arctan w2 1- 2 wn
§5.2 幅相频率特性 ( Nyquist )（4）
谐振频率wr 和谐振峰值Mr
G 1 [1
15 5(1 j 2w 2 ) j 2 2 (1 w )(1 4w ) w (1 w 2 )(1 4w 2 )
G( j 0) 90 G( j) 0 270
渐近线：
Re [ G( j 0)] 15
与实轴交点：Im[G( jw )] 0 穿越频率 wg 1
1 Ts 1
G
1
1 G ( jw ) 1 jw T
1 w 2T 2 G arctan wT
§5.2 幅相频率特性 ( Nyquist )（2）
⑸ 一阶复合微分
G(s) Ts 1
G( jw ) 1 jwT
G 1 w 2T 2
G arctan wT
求 (w 0) 时实部渐近线 Vx lim Re[G( jw )] w 0 G ( jw不含零点时， ) 3)根据 G ( jw ) 的变化趋势，所在象限和单调性，绘制大概形状。 模值和相位一般会单调收缩，当有零点时，曲线可能会扭曲。
当 1
§5.2.2 系统开环幅相频率特性
例
解
5 ，画G(jw)曲线。 s( s 1)(2 s 1) 5 j 5(1 jw )(1 j 2w ) G( jw ) jw (1 jw )(1 j 2w ) w (1 w 2 )(1 4w 2 ) G( s )
2 0.707 15 10 Re [ G( j 0.707)] (1 0.5)(1 4 0.5) 3
例 G ( s)
k ，画概略开环幅相曲线。 s (Ts 1)
K>0,T>0
G( s)
k (s 1) s 2 (T 1s 1)(T2 s 1)
课程小结
G
K
G( jw0 ) 90
w 0 w n
w0 wn 10

1 3
K 2 由|G(w0)|： G(w0 ) 3 2 2
2 102 G( s) 1 s 2 2 10s 102 3
200 s 2 6.67s 100
§5.2 幅相频率特性 ( Nyquist平面
nm3
对于由最小相位环 节组成的开环系统
v2
K
v0
Re
n m 1
v 1
§5.2
绘制步骤：
幅相频率特性 ( Nyquist )
1)由开环频率特性 G ( jw ) 求出幅频特性 G( jw) 和相频特性G ( jw )，或实 频特性Re[G( jw )]和虚频特性 Im[G( jw )]。 2)求特征点。起点
§5.2
幅相频率特性（Nyquist图）
§5.2.1 典型环节的幅相特性曲线
§5.2.2 开环系统的幅相特性曲线
§5.2 幅相频率特性 ( Nyquist )（3）
§5.2.1 典型环节的幅相频率特性
2 2 1 wn wn ⑹ 振荡环节 G( s ) 2 2 s s s 2wn s w n ( ) 2 2 1 ( s 1 )(s 2 ) wn wn 2
w w ) j 2 2 wn wn 1 G ( jw ) w2 w w2 2 w 2 1 2 j 2 (1 2 ) (2 ) wn wn wn wn 1 G
幅相频率特性（极坐标图）
G( jw ) K G ( jw ) jw
§5.2.1 典型环节的幅相频率特性
⑴ 比例环节
⑵ 微分环节 ⑶ 积分环节 ⑷ 惯性环节
G( s ) K
G( s ) s
1 G( s) s
G( s)
1 G( jw ) jw
G K G 0 G w G 90 G 1 w G 90
. 频率特性
幅频 G( jw ) 相频 G ( jw )
. 幅相特性(Nyquist)
. 对数频率特性(Bode)
对数幅频
. 对数幅相特性(Nichols)
L(w ) 20lgG( jw )
(w ) G( jw )
对数相频
§5.2
§5.2
幅相频率特性 ( Nyquist )（1）
w r w n 1 2 2
M r G ( jw r ) 1 2 1 2
d G 0 dw
d dw
w 2 w 2 ] [ 2 ] 2 wn wn
2
w2 w w 2 2[1 2 ][2( 2 ) ] 2 [ 2 ]( ) 0 wn wn wn wn 4w w2 2 [ 1 2 ] 0 2 2 wn wn

可得低频段乃氏图：
（ １ ）
(2)终点（高频段）：此时 w ，这时频率特性与分子分 母多项式阶次之差n m 有关。分析可得如下结论：
终点处幅值：
ω
lim G ( jω) 0
Im
lim G j ω n m ( ) ( ) 终点处相角： 2 ω
K G( j 0) v(90) v0 v0
终点
nm
G( j) 0 90(n m)
G( jw)] 0 wg Re[G( jwg )] 与负实轴交点：试探，法1 令 Im[
法2 令 G( jw) 180 wg G ( jw g )
§5.2.2 系统开环幅相频率特性（极坐标图）
K ( 1 s 1)( 2 s 1)( m s 1) G ( s) H ( s) v , (n m) s (T1 s 1)(T2 s 1)(Tn s 1)
（1）起点（低频段）：
K G( j 0 ) H ( j 0 ) lim v w 0 ( jw)
自动控制原理
§5. 线性系统的频域分析
§5.1 频率特性的基本概念 §5.2 幅相频率特性（Nyquist图） §5.3 对数频率特性（Bode图） §5.4 频域稳定判据 §5.5 稳定裕度 §5.6 利用开环频率特性分析系统的性能 §5.7 闭环频率特性曲线的绘制
课程回顾
§5.1.2 频率特性 G(jw) 的图解表示方法
w 2 1 2 2 wn
2
w2 2 w 2 [1 ] [ 2 ] 0 2 wn wn
例:当 0.3, wn 1 ，时
wr 1 1 2 0.32 0.9055
Mr 1 2 0.3 1 0.3
2
1.832
§5.2 幅相频率特性 ( Nyquist )（5）