此式可写成矩i 1 阵式：
CX+D+V+M=X
其中：
n
ai1 0 ...
0

i1
c1 0 ... 0

C

0
n ai2 ...
i 1
0



0
...
c2 ... ...
... ...
0

... ... ... ...

n


0
目标函数 max Z=CX
式中Z——目标函数值，产值，利税总值达最大；
C——决策变量X前价值系数向量（C1，C2，…，Cn）, 若目标函数为利税，X为产值，C则为产值的利税率；
若目标函数为总产值，X为产值，C则为1；
X——一般设为部门的产值列向量。
9
约束条件： （1）产值上、下限约束
下限 X>=L 或xi>=li ，(i=1,2,…,n) 上限 X<=H 或xi<=hi ，(i=1,2,…,n) 式中，li——各部门必须保证达到的最低产值； hi——各部门可能或允许达到的最大产值； （2）投入产出关系约束 X >=（I – A）-1Y 或 X – AX >= Y 意义在于保证满足社会所需最终产品总量。
3
§3 .2投入产出技术的基本数模
一、 价值型符号表
折旧 D 总产值

1 2 i n 小计
工资 V 纯收入 M 小计
中 1
X11 X21 Xi1 Xn1 ∑Xi1 D1 V1 M1
X1
间 2
X12 X22 Xi2 Xn2 ∑Xi2 D2 V2 M2
X2
产 j
X1j X2j Xij Xnj ∑Xij Dj Vj Mj
i1
总量平衡关系有：
n
n
yj (Dj Vj Mj)
i1
j1
三、直a接ij 消耗ijj系,(i数, jaij 1,2,.....n.).,
即第j部门单位产品/产值，在生产过程中直接消耗第i部 门的产品/产值数量。价值型时，aij 无量纲。如上表中： a11 =20/130=0。1538，…，a23=30/112=0.2679。
47.46 168.70
地 产 品 2 24.30 40.03 27.03 91.36 28.58 19.06
47.64 139.00
产 产 品 3 43.46 74.03 40.54 158.03 166.70 19.68
186.38 344.41
品 合 计 103.57 162.63 104.43 370.63 228.85
281.48 652.11
劳 动 报 酬 42.22 53.40 27.02 122.64
纯收入
63.92 72.83 31.98 168.73
总产值
388.77 479.44 290.00 1158.21
13
中间产品
最终产 品
产品 1 产品 2 产品 3 合计 库存
本 产品 1 92
2003 77
因为（I – A）为一非奇异矩阵，有逆矩阵，则：
（I – A）-1（I – A）X = （I – A）-1Y
故 X = （I – A）-1Y
------（b）
式中（I – A）-1——在概念上称为完全需要系数矩阵，
将a
引入按列的关系式，有
ij
6
n
a ix jjD j V jM jxj,(j 1 ,2 ,..n ).,
i1
j1
(5) 非负约束
X>=0
11
§3.4 地区与企业投入产出模型
地区投入产出表不仅要反映本地区各部门的技术经济联系，而 且还应反映本地区与外地区的技术经济与资源的联系，因此，表的 形式有所扩大；增加了从地区外调入的产品资源以及调出到区外的 产品栏。地区表多数仍采用价值型。 企业投入产出表，因为它主要属于微观经济范围，所以它应反映企 业内部的“产品”之间技术经济联系，这里所指的“产品”包括生 产流程中的可以相对划分成立的毛坯、半成品、部件等等，这是编 表时要研究确定的。此外，表中还应反映外购、外协产品、资源， 企业管理费用，奖金等。企业投入产出表有价值型，也有实物型的。
投入产出分析
§3.1 基本概念
一. 投入产出技术的涵义------W.Leontief
用数学模型研究系统的经济活动中投入要素与产出要素之间数量依存 关系,以反映它们的技术经济联系，以及生产、消费、积累和分配之间 的数量关系。 其作用：1、经济结构分析；
2、经济发展相关条件分析； 3、平衡/缺口分析； 4、预测； 5、最优经济计划的编制；
合计
741 4247 804 5792
固定资产折 146 114 138 398
旧
企业管理费 105 430 373 908
工资、奖金 229 648 571 1448
利税
700 1412 884 2996
其它
894 1447 610 2951
总产品
3928 12917 4439 21284
销售 1248
12
某地区1990年投入产出表
中间产品
最终产品
总产值
部门 1 部门 2 部门 3 合计
消费 积累
调出
合计
本 部 门 1 53.73 115.31 30.73 199.77 65.22 27.95 95.83 189
388.77
地 部 门 2 95.90 26.70 52.84 175.44 139.45 62.03 102.52 304
1
二、方法分类
1、按要素计量单位分：价值型；实物型。 2、按涉及范围分：全国型；地区型；部门型；企业型。 3、按涉及时间影响分：静态的；动态的。 基础的投入产出（方法）表是静态、全国价值型表
物 资 消 耗 1．农业
（ 生 产 资 2．重工业
料 补 偿 价 3．轻工业
值）
小计
折旧
净 产 值 工资
（新创价 纯收入
9017 2141 12406
合计 1756
9834 2903 14493
总 产品
3928
12917 4439 21284
14
7
四、完全消耗系数bij
在实际生产中，除了部门间有直接联系、直接消耗以外，还有间接 联系，即间接消耗。
比如：
精矿石
原矿石 机修
水
药剂
电力----直接消耗电力
木材
钢铁
机修
...
故有（bij）n×n=B=A+A2+A3+… 数学上可证明：（I – A）-1=I+A+A2+A3+… 有 B=(I – A)-1 – I=(完全需要系数矩阵 - 单位矩阵)
8
§3.3 国民经济计划测算
根据以上所述的投入产出基本数模，可以进行各部门生产计划（含 Y、X、N总量）的测算，部门结构调整的测算，劳动报酬、劳力以 及中间产品需求的预测等等。
请参阅教材p168-177
国民经济计划综合优化模型
将投入产出模型与线性规划方法结合起来，可以设计经济计划综合
优化模型，以求在一定的资源约束以及投入产出关系协调下，获得 目标最优的计划方案。
10
(3) 资源约束（包括外购物资、资金、水、劳力等） 式中Ri——用于生产消耗的i部门的某种资源总量（能 供给的） 比如：资金量，水量，能源等。
(4) 结构协调约束——各部门产值之间的所需比例、结构 xi>=(或<=)θj∑xj
xk>=(或<=)φ1xl
s
t
xi (或)2 xj
2172 508
企 业 产品 2 719
1762 602
3083 817
产 产品 3 302 854 380 1536 762
品 合计
1113 4619 1059 6791 2087
外 原材料 324 1423 272 2019
购 产 燃料
251 500 213 964
品 其它
166 2324 319 2809
Xj
品 n X1n X2n Xin Xnn ∑Xin Dn Vn Mn
Xn
小计 ∑X1j ∑X2j ∑Xij ∑Xnj
最终产品 Y
Y1 Y2 Yi Yn ∑Yi
总产值 X X1 X2 Xi Xn
Xi=Xj
4
二、基本关系式
按行，有
n
xijyi xi,(i1,2,..n.),
j1
按列，有
n
xijDjVjM jxj,(j1,2,..n).,
5
引入a，以上按行的关系式即可转化为：
n
aijxijyi xi,(i1,2,..n .),
j1
将此n个关系式写成如下矩阵：
AX + Y = X
式中A——直接消耗系数矩阵，n×n,其元素为aij(n×n); X-——各部门总产值列向量；
Y-——各部门最终产品产值列向量；
由上列矩阵式可得：
X – AX = Y ， （I – A）X = Y -----（a）
479.44
产 部 门 3 29.43 48.57 43.00 121.00 49.00 30.60 89.40 169
290.00
品 合 计 179.06 190.58 126.57 496.21 253.67 120.58 285.75 662
1158.21
外 产 品 1 35.81 48.57 38.86 1121.24 33.57 13.89
总产品 产值
130 220 112 462