课时跟踪检测（一） 变化率问题、导数的概念
一、题组对点训练
对点练一 函数的平均变化率
1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2
解析：选C 根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )
2－1
＝a ＝3.
2．若函数f (x )＝－x 2
＋10的图象上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ，
则Δy Δx ＝( )
A ．3
B ．－3
C ．－3－(Δx )2
D ．－Δx －3
解析：选D ∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2
，
∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )
2
Δx ＝－3－Δx . 3．求函数y ＝f (x )＝
1
x
在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率．
解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝
1
1＋Δx －1
＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )
(1＋1＋Δx )1＋Δx
＝
－Δx
(1＋1＋Δx )1＋Δx
， ∴
Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx
. 对点练二 求瞬时速度
4．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3
－2表示，则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为( )
A ．1
B ．3
C ．－1
D ．0 答案：B
5．求第4题中的物体在t 0时的瞬时速度． 解：物体在t 0时的平均速度为v ＝
s (t 0＋Δt )－s (t 0)
Δt
＝(t 0＋Δt )3
－2－(t 3
0－2)Δt ＝3t 2
0Δt ＋3t 0(Δt )2
＋(Δt )3
Δt
＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2
.
因为lim Δt →0 [3t 2
0＋3t 0Δt ＋(Δt )2
]＝3t 2
0，故此物体在t ＝t 0时的瞬时速度为3t 2
0 m/s. 6．若第4题中的物体在t 0时刻的瞬时速度为27 m/s ，求t 0的值．
解：由v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt
＝3t 2
0Δt ＋3t 0(Δt )2
＋(Δt )3
Δt ＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2
，
因为lim Δt →0 [3t 2
0＋3t 0Δt ＋(Δt )2
]＝3t 2
0. 所以由3t 2
0＝27，解得t 0＝±3， 因为t 0>0，故t 0＝3，
所以物体在3 s 时的瞬时速度为27 m/s. 对点练三 利用定义求函数在某一点处的导数 7．设函数f (x )可导，则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)
3Δx
等于( )
A ．f ′(1)
B ．3f ′(1)
C ．1
3f ′(1) D ．f ′(3)
解析：选A lim Δx →0
f (1＋3Δx )－f (1)
3Δx
＝f ′(1)．
8．设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 解析：选C ∵f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)
Δx
＝lim Δx →0
a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)
Δx
＝a ，∴a ＝3.
9．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数f ′(1)．
解：由导数的定义知，函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝lim Δx →0
f (1＋Δx )－f (1)
Δx
，而
f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，又lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12
，所以f ′(1)＝1
2.
二、综合过关训练
1．若f (x )在x ＝x 0处存在导数，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)
h
( )
A ．与x 0，h 都有关
B ．仅与x 0有关，而与h 无关
C ．仅与h 有关，而与x 0无关
D ．以上答案都不对
解析：选B 由导数的定义知，函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．
2．函数y ＝x 2
在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )
A ．k 1>k 2
B ．k 2<k 2
C ．k 1＝k 2
D ．不确定
解析：选D k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20
Δx
＝2x 0＋Δx ；
k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2
Δx
＝2x 0－Δx .
因为Δx 可正也可负，所以k 1与k 2的大小关系不确定． 3．A ，B 两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W 1(t )，
W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示，则一定有( )
A ．两机关节能效果一样好
B ．A 机关比B 机关节能效果好
C ．A 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率大
D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大
解析：选B 由题图可知，A 机关所对应的图象比较陡峭，B 机关所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t 0]上的平均变化率都小于0，故一定有A 机关比B 机关节能效果好．
4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2
，其中s 的单位是：m ，t 的单位是：s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )
A ．7 m/s
B ．6 m/s
C ．5 m/s
D ．8 m/s
解析：选C ∵Δs Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2
－(1－3＋32
)
Δt ＝5＋Δt ，
∴lim Δt →0
Δs
Δt ＝lim Δt →0
(5＋Δt )＝5 (m/s)． 5．如图是函数y ＝f (x )的图象，则
(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为
f (1)－f (－1)1－(－1)
＝
2－12
＝1
2
. (2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋32
，－1≤x ≤1，
x ＋1，1<x ≤3.
所以，函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)
2－0
＝
3－
32
2＝3
4
. 答案：(1)12 (2)3
4
6．函数y ＝－
1
x
在点x ＝4处的导数是________．
解析：∵Δy ＝－
1
4＋Δx
＋14
＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx
24＋Δx (4＋Δx ＋2)
.
∴
Δy Δx ＝124＋Δx (4＋Δx ＋2)
. ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1
24＋Δx (4＋Δx ＋2) ＝
1
2×4×(4＋2)＝1
16
.
∴y ′|x ＝4＝116
. 答案：
116
7．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2
(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．
解：(1)初速度v 0＝lim Δt →0 s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt 2
)
Δt
＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)． 即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝lim Δt →0
s (2＋Δt )－s (2)
Δt
＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2
－(3×2－4)
Δt
＝lim Δt →0 －(Δt )2
－Δt Δt ＝lim Δt →0 (－Δt －1)＝－1(m/s)． 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度相反．。