实验六、用窗函数法设计FIR 数字滤波器一、实验目的：（1）熟悉基本的窗函数，及其特点。

（2）掌握用窗函数法设计FIR 数字滤波器的原理和方法。

（3）熟悉线性相位FIR 数字滤波器特性。

二.实验原理（一）FIR 滤波器的设计FIR 滤波器具有严格的相位特性，这对于语音信号处理和数据传输是很重要的。

目前FIR 滤波器的设计方法主要有三种：窗函数法、频率取样法和切比雪夫等波纹逼近的最优化设计方法。

本实验中的窗函数法比较简单，可应用现成的窗函数公式，在技术指标要求不高的时候是比较灵活方便的。

它是从时域出发，用一个窗函数截取一个理想的)(n h d 得到h(n)，以有限长序列h(n)近似理想的)(n h d ：如果从频域出发，用理想的)(jw d e h 在单位圆上等角度取样得到H （k ），根据h(k)得到H(z)将逼近理想的)(z H d 这就是频率取样法。

（二）窗函数设计法同其它的的数字滤波器设计的方法一样，用窗函数设计滤波器也是首先要对滤波器提出性能指标。

一般是给定一个理想的频率响应)(jw d e h ，使所设计的FIR 滤波器的频率响应)(jw e h 去逼近所要求的理想的滤波器的响应)(jw d e h 窗函数设计的任务在于寻找一个可实现（有限长单位脉冲响应）的传递函数。

∑-=-=1)()(N n jw jwn e n h e H去逼近)(jw d e h 。

我们知道，一个理想的频率响应)(jw d e h 的傅里叶变换⎰=ππ20)(21)(dw e e H n h jwnjw d d 所得到的理想的单位脉冲响应)(n h d 往往是一个无限长序列，对)(n h d 经过适当的加权、截取处理才得到一个所需要的有限长脉冲响应序列。

对应不同的加权、截断，就有不同的窗函数。

所要寻找的滤波器脉冲响应就等于理想脉冲响应和窗函数的乘积。

即:)()()(n w n h n h d =由此可见，窗函数的性质就决定了滤波器的品质。

例如：窗函数的主瓣宽度决定了滤波器的过渡带宽；窗函数的旁瓣代销决定了滤波器的阻带衰减。

以下是几种常见的窗函数： 1、矩形窗 )()(n R n w N = 2、Hanning 窗 )()]12cos(1[5.0)(n R N nn w N --=π3、Hamming 窗 )()]12cos(46.054.0[)(n R N nn w N --=π 4、Blackman 窗 )()]14cos(08.0)12cos(5.042.0[)(n R N nN n n w N -+--=ππ 5、Kaiser 窗 )(]1))1(2[(1()(020ββI N nI n w ---=其中)(0∙I 是零阶贝塞尔函数。

Kaiser 窗可以通过改变β参数，改变其主瓣宽度和旁瓣大小。

在MATLAB 中产生窗函数十分简单： （1）矩形窗（Rectangle Window ）调用格式：w=boxcar(n)，根据长度n 产生一个矩形窗w 。

（2）三角窗（Triangular Window ）调用格式：w=triang(n) ，根据长度n 产生一个三角窗w 。

（3）汉宁窗（Hanning Window ）调用格式：w=hanning(n) ，根据长度n 产生一个汉宁窗w 。

（4）海明窗（Hamming Window ）调用格式：w=hamming(n) ，根据长度n 产生一个海明窗w 。

（5）布拉克曼窗（Blackman Window ）调用格式：w=blackman(n) ，根据长度n 产生一个布拉克曼窗w 。

（6）恺撒窗（Kaiser Window ）调用格式：w=kaiser(n,beta) ，根据长度n 和影响窗函数旁瓣的β参数产生一个恺撒窗w 。

表1 各种窗函数的性能指标（三）Matlab 提供了基于窗函数法的FIR 滤波器的设计函数fir1和fir2Matlab 中，函数fir1（）和fir2（）利用加窗傅里叶级数法设计FIR 滤波器。

函数fir1（）用来设计传统的LP （低通）、HP （高通）、BP （带通）、BS （带阻）和多频带FIR 滤波器；而函数fir2（）用来设计具有任意幅度响应的的FIR 滤波器。

1. fir1：基于窗函数的FIR 滤波器设计-标准频率响应形状hn=fir1（M ，wc ），返回6dB 截止频率为wc 的M 阶（单位脉冲响应h(n)长度N=M+1）FIR 低通（wc 为标量）滤波器系数向量hn ，默认选用哈明窗。

滤波器单位脉冲响应h(n)与向量hn 的关系为h(n)=hn(n+1)， n=0,1,2,3,……，MB=fir1(M,wc ,’ftype’,window)调用格式： n 为阶数、wc 是归一化截止频率（0<Wn<1）（如果输入是形如[W1 W2]的矢量时，本函数将设计带通滤波器，其通带为W1<ω<W2）、ftype 是滤波器的类型（低通-省略该参数、高通-ftype=high、带阻-ftype=stop）、Window 是窗函数。

应当注意，在设计高通和带阻滤波器时，阶数N只能取偶数(h(n)长度N+1为奇数)。

不过，当用户将N设置为奇数时，fir1会自动对N加1。

2.fir2：于窗函数的FIR滤波器设计-标准频率响应形状B=fir2(N,f,m,window)例题1：利用fir1函数设计为信号f =2*sin(2*pi*20*t)+4*sin(2*pi*60*t)设计一低通滤波器滤除频率为60Hz的信号。

clear,close all;fs=200;N1=200;n=0:N1-1;f=n*fs/N1;t=0:1/fs:(N1-1)/fs;x=2*sin(2*pi*20*t)+4*sin(2*pi*60*t);X=abs(fft(x));X1=X/(N1/2);X1(1)=X1(1)/2;plot(f(1:N1/2),X1(1:N1/2));title('原始信号f');N = 11; %滤波器节点个数wc = 0.5; %归一化截止频率hd = fir1(N,wc); % 基于加窗函数的FIR滤波器设计，系统默认窗为hanningft=filter(hd,1,x); %也可以采用ft=fftfilt(hd,f),或ft = conv(f,hd);figure;Y=abs(fft(ft));N2=length(Y);Y1=Y/(N2/2);Y1(1)=Y1(1)/2;plot(f(1:N2/2),Y1(1:N2/2));title('滤波后信号ft');函数fftfilt的调用格式为y=fftfilt(b,x) 该格式是利用基于FFT的重叠相加法对数据进行滤波，这种频域滤波技术只对FIR滤波器有效。

该函数是通过向量b描述的滤波器对x数据进行滤波。

x是等待滤波的信号；b是FIR滤波器的H(z）的分子多项式系数例题2：调用fir2函数逼近截止频率wc=0.6 的理想高通30阶FIR数字滤波器设计f = [0 0.6 0.6 1];m = [1 1 0 0];b = fir2(30,f,m);figure(1);stem(n,b,'.'),title('h(n)');grid[h,w] = freqz(b,1,128);figure(2)plot(f,m,w/pi,abs(h))legend('Ideal','fir2 Designed')title('Comparison of Frequency Response Magnitudes')例题3：利用窗函数法设计一个线性相位的低通滤波器，性能指标为：通带截止频率为0.2pi，阻带起始频率为0.3pi，通带最大衰减为3dB，阻带最小衰减为40dB，编写程序实现，并绘制滤波器的幅频响应与相频响应。

wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;wdelta=ws-wp;N=ceil(8*pi/wdelta);wc=(wp+ws)/2;b=fir1(N-1,wc/pi,hanning(N));freqz(b,1,512)%求得频率响应，分子为b，分母为1（四）FDATool设计数字滤波器：在 MATLAB 命令窗口中输入 fdatool，即可启动FDATool 工具，出现一个综合、操作简单的图形用户界面。

FDATool 界面分为上下两大区域，一是设计区：用于设置待设计的数字滤波器各种参数，位于界面的下半部分；二是显示区：用于显示所设计的数字滤波器各种特性，位于界面的上半部分。

1、在FDATool 界面设计区的Response Type选项中选择Lowpass，在Design Method 选项中选择FIR ，Window选择。

然后，在Filter Order选项中选择11。

最后，分别在Frequency Specifications选项中设置Units为normalized(0 to 1)，wc为0.6。

设置完毕后，点击 Design Filter 按钮即可完成 FIR低通数字滤波器的设计，并在FDATool 的 Filter Specifications 显示区呈现出滤波器的幅频响应三、实验内容1、利用fir1和三角窗（triang）和汉宁窗（hanning）窗函数分别设计一个N=51，截止频率为wc=0.5π的低通滤波器，分别画出冲激响应曲线和幅频响应曲线。

2、利用fir1及blackman窗设计一个N=52，ws1=0.3π、ws2=0.4π带阻滤波器，画出幅频响应及相频响应。

提示：ws=[0.3,0.4]h=fir1(N-1,ws,’stop’,blackman(N));3、s=sin(2*pi*t*5)+sin(2*pi*t*15)+sin(2*pi*t*30)，信号中包含了5Hz、15Hz、30Hz 频率分量，对其采样的频率取100Hz。

带通滤波器要把低频5Hz分量滤掉，因此取样频率为fs=100Hz，由wp1=0.35*pi;wp2=0.65*pi;ws1=0.2*pi;ws2=0.8*pi过渡带宽：8Mπ，得出滤波器的阶数M。

注意：带通滤波器过渡带带宽的求法min((wp1-ws1),(ws2-wp2))理想带通滤波器的下截止频率：(wp1+ws1)/2/pi理想带通滤波器的上截止频率：(wp2+ws2)/2/pi要求：画出带通滤波器幅频响应、相频特性、滤波前后波形的频谱。

四、思考题如果没有给定h(n)长度N，而是给定了通带边缘截止频率w s阻带临界频率w c以及相应的衰减，你能根据这些条件用窗函数法设计线性相位FIR低通滤波器吗？。