121.1
0.054
93.3
0.093
65.6
可见，甲烷溶解于正丁烷中的浓度只要发生少许
变化，对泡点温度就带来显著的影响。这种情况
用泡点法作迭代计算是很难收敛的。
23
泡点法的计算步骤
1. 解三对角矩阵方程(ME方程)求组分分布
根据ME方程组中等式左边系数矩阵为三对角矩 阵，除主对角线及相邻两条对角线上的元素不全 为零外，其余元素为零的特点，用上节课所讲的 方法求解出组分浓度，注意，解出的xij(1)需进行圆 整。
7-1-2 通用数学模型的建立 对于一个平衡级可以建立如下的四类方程，
称为MESH方程。 (1)组分物料平衡方程—M方程，当物系有C个组分 时，每级可有C个方程：
Lj1x j1,i Vj1y j1,i Fjzji (Lj Sj )x ji (Vj Gj )y ji 0
(7-1)
9
(2) 组分相平衡方程—E方程，每级有C个方程：
2
7-1 三对角线矩阵算法
7-1-1 通用模型塔的建立 为了设计一个通用的模型塔，设模型塔共有N
个理想平衡级，冷凝器为第一级，再沸器为第N 级，除第1级和第N级外，每个平衡级都有进料Fj 和侧线出料Sj(j=2,3,…,N-1)，并有加热或冷却设 备(即有±Qj)。根据具体条件可将塔简化成任何 一个实际塔，不需要的量可定为零。图7-1是一 个通用模型塔，它也可以简化成简单塔或任何塔。
A N1
BN1
CN1
x
N1,i
DN1
AN BN xN,i DN
(7-17)
16
系数矩阵有三对角矩阵结构，当组分数为c时，
便可有c个独立的三对角矩阵方程。只要迭代变
量Tj及Vj赋以定值，可以算出Kji值，则系数矩阵 各元素Aj，Bj，Cj均为已知量，式(7-17)便可用 高斯消去法求解。高斯消去法所用公式由变形的
LN-2
N-1
LN-1 N
SN-3 SN-2 SN-1
GN QR=QN
(GN= SN=0)
LN
图7-1 多组分复杂精流塔模型
冷凝器 分离罐
再沸器
4
yj,Hj,Tj,Pj Vj Gj
xj-1,hj-1,Tj-1,Pj-1
Lj-1 L 位头
Zj Fj
HFj TFj
F阀
第j级
PFj
V阀
Sj
Vj+1
Lj xj,hj,Tj,Pj
分离物系，由于其组成变化不会引起泡点温度大
幅度变化，泡点法对它的计算特别有效，精馏过
程多涉及此种物系。
22
对于温度对组成非常敏感的情况，例如， 甲烷与正丁烷的双组分物系，在28.12kg/mm2压 力下，其组成与泡点温度的关系如下：
甲烷在溶液中的摩尔分率
泡点温度 OC
0.000
135.0
0.018
6
进入本级的原料Fj可以是单相的或是两相 的，随组成Zji，摩尔焓HFj，温度TFj及在压力PFj 而定，原料压力可以等于本级压力Pj，也可以高 于Pj，假如高于Pj则压差(PFj-Pj)将通过F阀绝热 减压降为零。
由上部j-1级流来的液流Lj-1，组成为xj-1,i， 焓值为hj-1，温度为Tj-1，压力为Pj-1，此压力可 能等于或小于本级压力Pj，若Pj-1<Pj，此压力将 因经静压头而得以绝热地提高至Pj。
三对角矩阵也称Thomas算法，它具有简便、 灵活及通用性好的特点，当被引入平衡级计算， 便极大地推动了多组分多级计算的发展。
我们从上面的MESH方程可知，任一组分i 任一平衡级j(j1且j N)的M方程只相关于相互比
13
邻的三个平衡级，就是说，第j级只与第j-1级、 第j+1极之间存在物料平衡关系，如果将M方程 与其他方程分割并以级 温度Tj及级流率Vj作迭代 变量赋以确定的值，则M方程便是一组以组成xji 为变量的线性方程组，由于任一式只涉及三个平 衡级，当按级排成矩阵式时，就是具有三对角矩 阵的结构，用Gauss消去法不难解出全部。
2. 用S方程求各板Tj 由各板液相组成xij(1)，利用泡点方程可求出各板
温 度 Tj(1) 。 对 烃 类 混 合 物 ， 可 用 牛 顿 迭 代 公 式 求 Tj(1) ，若Tj(1)与原设值一致，则温度计算结束，否 则，以Tj(1)作为假设值Tj(0) ，再重复计算，直至 Tj(1)与原假设值Tj(0)一致为止。
M方程式(7-16)导出。
j=1 B1x1i+C1x2i=D1
x1i
D1 B1
C1 B1
x2i
令 q1=D1/B1，p1=C1/B1
则上式变为x1i=q1-p1x2i
(7-18) 17
x2i=q2-p2x3i
其中：
q2
D2 B2
A 2q1 A 2p1
,
p2
B2
C2 A2p1
依此类推，对于任一级(2jN-1)
时，具有强度性质xji，hj，Tj及Pj的液流(Lj+Sj) 与气流(Vj+Gj)处于相平衡状态，它们离开本级 亦可分成两股，一股为侧线采出流Sj，另一股Lj 流向j+1级，对于最下一级(j=N)的下流液体既作
为塔底产品离开设备。
8
热量Qj或为正或为负值代表段间冷却器或段 间加热器的热负荷，而在两端的Q1及QN则为冷凝 器及再沸器的热负荷。
Aij (q j1 p j1xi, j ) Bij xi, j Cij xi, j1 Dij
Aijq j1 Aij p j x 1 i, j Bij xi, j Cij xi, j1 Dij
(Bij Aij p j1)xi, j Dij Aijq j1 Cij xi, j1
xi, j
yji-Kjixji=0
(7-2)
式中Kji为相平衡常数
(3) 摩尔分率加合方程—S方程，每级有C个方程：
C
yji1 1 0
(7-3a)
i1
C
xji1 1 0
i1
(7-3b)
(4) 热量平衡方程—H方程，每级有1个方程：
Lj1hj1 Vj1Hj1 FjHFj (Lj Sj )hj (Vj Gj )Hj Qj 0
Fj z ji
(7-11)
令：Aj
Vj
j 1
(Fk
Gk
Sk ) V1
k 1
(7-12)
j
B
j
[V j1(Fkk来自1GkSk )
V1
Sj
(V j
G j )K j,i ]
(7-13)
C j V j1Ki, j1
(7-14)
D j Fj zi, j
(2 j N 1)
(7-15)
这种算法运算中通常不涉及两相近数相减， 从而避免了舍入误差，而且算出的xji很少出现负 值, 加之此法效率高，需要的计算机存储容量小， 因此比起矩阵求逆法，此法的优越性是明显的，
20
虽然如此，此法的应用范围也是有限制的，当所 需平衡级很多且各组分的吸收因子在某一段中小 于1，而在另一段中大于1的情况，计算将遇到麻 烦，必须改用其它更适合的方法。 常用的MESH方程组的解法有以下几种： 1). 顺序收敛法，包括BP法，DP法，SR法 2).同时收敛法，包括有多元牛顿法(或2N牛顿法) 3).松弛法，主要用于不稳定工况的精流计算。
当 式 (7-10) 代 入 ME 方 程 ， 用 汽 相 组 成 vji 代 替液相组成lji，消lji得到：
14
j 1
j
(V j (Fk Gk Sk ) V1)x j1,i [V j1 (Fk Gk Sk )
k 1
k 1
V1 S j (V j G j )K j,i ]x ji V j1K j1,i x j1,i
j=j xji=qj-pjxj+1,i
其中：
qj
Dj Bj
A jq j1 A jp j1
,
pj
Bj
Cj Ajpj1
j=N xNi=qN
其中：
qN
DN BN
A Nq N1 A N p N1
,
(7-18)
(7-19) (7-20)
18
Aij xi, j1 Bij xi, j Cij xi, j1 Dij
Yj+1,Hj+1,Tj+1,Pj+1
Qj
(+) (-)
图7-2 通用平衡级模型图
5
设想一个功能齐全的通用的平衡级模型如上 图所示。用它表示任一种类级联分离设备的任一 平衡级，当表示汽液平衡关系时，图中Vj及Lj代 表汽、液相流率，下标j表示级序，级序自上而 下排列，下标i为组分标号。Qj为传递热量，自 本级向外传递以“+”号，向本级传入标“-”号。 Hj及hj分别为第j级汽相及液相物流摩尔焓。
Dij Aijq j1 Bij Aij p j1
Bij
Cij Aij p j1
xi, j1
xi, j q j p j xi, j1
19
计算时，由第1级开始算出q1，p1，接着按顺 序递推地算出q2，p2，q3，p3，…一直算出qN， 由 式 (7-20) 便 求 出 xNi 值 ， 随 后 ， 将 xNi 代 入 式 (719 )算出xN-1,i，然后反复使用式(7-19 )算出xN-2,i， xN-3,i，…， x2,i， x1,i各值。
3
V2
GF22 GF33 GFjj--11 Gj
Gj+1 Fj+1
V2 Q2 2
V3 Q3 L2 3
j-1 Vj Qj
j Lj
j+1
L1
S2 S3 Sj-1 Sj Sj+1
QC=Q1 (F1=G1=0)