T
零矩阵
所有元素为0的矩阵，记为O
补充知识——线性代数
★矩阵的特殊形式
1 0 0 0 0 对角阵 0 0 2 diag( , , ) 1 2 n 0 0 0 0 0 0 n
1 0 E 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
a1b2
a2b2 a3b2 a4b2
a1b3 a2b3 a3b3 a4b3
补充知识——线性代数
★线性变换的矩阵表示
y1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 a14 x4 y2 a21 x1 a22 x2 a23 x3 a24 x4 y a x a x a x a x 31 1 32 2 33 3 34 4 3
a11 (a22 a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31 ) a13 (a21a32 a22 a31 )
a11 的余子式 M11 a11 的代数余子式
a22 a32
a23 a33
11
A11 (1) M 11
a22 a32
a23 a33
补充知识——线性代数
-1 11
1 0 1 3 0 1 3 4
AB
9 9
-2 9
补充知识——线性代数
★矩阵运算的几种结果
b1 b2 (a1 , a2 , a3 , a4 ) a1b1 a2b2 a3b3 a4b4 b3 b 4
a1b1 a1 a b a2 2 1 a b1 , b2 , b3 a b 3 1 3 a 4 a4b1
a11 a12 A a21 a22 a31 a32
a13 a23 a33
补充知识——线性代数
★矩阵的运算
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 b11 B b21 b31 b12 b22 b32 b13 b23 b33
2 2 2 (6 ) 2 （-1） 0 （ 1） （5） mB 3.5 5
mA mB
说明A组的观测精度比B组高
第二章 测量误差理论及其应用
2.允许误差:在一定观测条件下规定的测量误差的限值，也称 为极限误差或限差。 以3倍中误差作为偶然误差的极限值 3m
第二章 测量误差理论及其应用
第二章 测量误差理论及其应用
1.偶然误差的统计特性
有限性
一定观测条件下有限次 观测值中，其绝对值不 超过一定界限
显小性
绝对值小的误差比绝对值 大的误差出现的机会多
对称性
绝对值相等的正、负误差出 现的机会大致相等
偶然 误差
抵消性
观测次数无限增多时，偶然 误差的算术平均值趋近于零
限
要求较高时，也常采用2倍中误差作为极限误差
限 2m
第二章 测量误差理论及其应用
例题：分别丈量了1000m和200m两段的距离，中误差 均为 0.2m，试问哪个测量的精度高？
3.相对误差：观测值中误差的绝对值 m 与观测值之比。 1 1
K D D m M
0 .2 1 200 1000
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
补充知识——线性代数
例 根据定义计算行列式的值
5
1
4
5 2 2 1 (1)(2) 4 3 0 4 2 (2) 1 3 2 5 (1) 0 32
3 2 1 2 0 2
2
第二章 测量误差理论及其应用
例题：有两个测量组对某个已知值的角度同时都进行了5次 观测，各次观测的真误差如下： A组：-4″，-3″，0″，+2″，+4″； B组：-6″，-1″，0″，+1″，+5″。 解：
2 2 2 (4 ) 2 （- 3） 0 （2） （4） mA 3.0 5
m f h m n 2.8 n ( mm)
以3倍中误差为允许误差，则高差闭合差的允许误差为：
允 3 2.8 n 8 n (mm)
补充知识——线性代数
★二阶行列式 定义
a b c d
ad bc
a b c d
补充知识——线性代数
例 根据定义计算行列式的值
6 2 6 (3) 2 (5) 5 3
cos sin sin cos
cos2 ( sin 2 )
补充知识——线性代数
★三阶行列式
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a23 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 a33 a13
5
1
4
11 12 13 a ( 1 ) M a ( 1 ) M a ( 1 ) M13 1 11 11 12 12 13
3 2 2 0
2
补充知识——线性代数
习题
1 2 3
0 0 0
3 0 1 0 0 1
0 1 0 2
补充知识——线性代数
★行列式的转置 把矩阵A的行换成相应的列，得到的新矩 阵称为A的转置矩阵，记作AT 。
余子式 元素aij 的余子式 M ij 就是在行列式中划掉元 素aij所在的行和列，余下的元素按原来的 相对位置而构成的行列式。
代数余子式
Aij (1)
i j
M ij
补充知识——线性代数
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 ຫໍສະໝຸດ 11 A11 a12 A12 a13 A13 a33
a11b11 a12b21 a13b31 AB a21b11 a22b21 a23b31
a11b12 a12b22 a13b32
补充知识——线性代数
1 0 3 1 A 2 1 0 2
4 1 B 2 1
解： 普通水准测量每站测得高差
hi ai bi (i 1,2, n)
则每站观测高差的 m m读2 m读2 m读 2 2.8mm 观测n站所得高差 h h1 h2 ，高差闭合差 ， f h h h0 hn h0 为已知值（无误差）。则闭合差 f的中误差为： h
2 2 2
第二章 测量误差理论及其应用
例题：已知矩形的宽x=30m，其中误差mx 0.010m， 矩形的长y=40m，其中误差 my 0.012m ，计算矩形 面积A及其中误差 m A 。
2 A xy 1200 m 解：已知计算矩形面积公式
对各观测值取偏导数 根据误差传播定律
f f x, y y x
单位阵
补充知识——线性代数
★矩阵的运算
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 b11 b12 B b21 b22 b31 b32 a12 b12 a22 b22 a32 a32 b13 b23 b33
K1
0.2 1 1000 5000
K2
第二章 测量误差理论及其应用
3.误差传播定律
1.观测值的和或差的函数中误差
z x y
2 2 m z mx my
z x1 x2 xn
2 2 2 m z mx m m x2 xn 1
第二章 测量误差理论及其应用
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 a11 AT a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
补充知识——线性代数
1
5 1 4 3 2 1 2 0 2
0 0 0
3 0 1 0 0 1
2 3
0 1 0 2
补充知识——线性代数
★矩阵的定义 称m行、n列的数表为矩阵，表示为：
例题：测定A、B间的高差 hAB ，共连续测了9站。设测量每站 2mm 高差的中误差 m ，求总高差 的中误差 hAB 。 mh
hAB h1 h2 h9
mh m n 2 9 6mm
第二章 测量误差理论及其应用
2.观测值倍数函数的中误差 设函数为： z kx
精确度：是精度和准确度的合成，指观测结果
与其真值的接近程度是全面衡量观测质量的标准。
第二章 测量误差理论及其应用
1.中误差：在一定条件下，对某一量进行n次观测，各观测值 真误差平方和的平均值开方，用m表示。
m

2
n
1 2 n n
2
2
2
方差
[] n
mz kmx
例题：在1:1000比例尺地图上，量的A，B两点间距离 Sab 26.，其中误差 5mm mab，求 0.A 2mm 、B间的实地 距离 S AB 及其中误差 m 。 AB
解： S AB 1000Sab 26.5m
mAB 1000 mab 1000 0.2mm 200mm 0.2m
a11 a 21 am1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
补充知识——线性代数
★矩阵的特殊形式 n阶矩阵 行矩阵 列矩阵
A (a1 , a2 , a3 ,, an )
B (b1, b2 , b3 ,, bn )
2 2
f 2 f 2 mA y m y x mx 402 0.0102 302 0.0122 0.2896 0.54m 2