地图数学模型原理与分析课程作业院系：资源与环境科学学院专业：测绘工程学生姓名：李兵学号： 2013282050151指导教师何宗宜一．在空间数据库中,把大比例尺图形数据缩编成小比例尺,图形数据是按要素分层的,各要素应采用什么模型确定选取指标?答：地图缩编通常会将图形数据按要素分层，如居民地、河流、道路等图层，各种要素选取指标的确定通常又有多种模型可以选择。

大比例尺缩编成小比例尺时,应根据不同的要素的特点采用不同的数学模型确定指标。

1.居民地选取指标模型1）确定居民地选取指标的模型包括一元回归模型、多元回归模型、图解计算法、开方根规律模型等，下面采用一元回归模型为例进行说明；2） 根据地图制图综合原理，资料图上居民地密度越大，新编图上居民地选取程度（选取百分比）越低。

居民地选取程度与居民地密度之间存在着相关关系，依据这种相关关系可建立二者之间的回归模型。

相关关系可用幂函数来表示：y=ax^b ，其中a,b 是待定参数。

例如根据某制图区域1:20万地形图上量测的样品数据可得居民地选取程度数学模型为y=7.47x^(-0.65)，有了居民地选取程度模型，只要知道资料图居民地密度，就可以计算出新编地图居民地的选取程度（或选取数量）。

同理可对全国范围内已成的各种比例尺地形图作了大量的实际观测，建立相应的居民地选取指标模型；3） 在实际地图制图数据处理中，常常是以与之比例尺相差不远的地形图作为资料图。

考虑实际需要，通过数据分析处理，可得到相应的数学模型如下图所示：2、河流选取指标模型1） 确定河流选取指标模型主要有一元回归模型、多元回归模型、方根模型等。

实施地图综合时，应根据具体情况，选择合适的模型，下面以一元回归模型进行说明；2） 河网密度是确定河流选取指标（标准）的基本依据。

河网密度系数 ，其中L 是河流的总长度，P 是河流的流域面积，根据自然界的规律，河网越密该区域小河流就越多，即河网密度系数K 和单位面积内的河流条数有相关关系：= ，其中n 是河流条数。

依据河网密度系数K 和单位面积内的河流条数的相关关系，可建立河网密度系数K 的数学模型。

根据样本数据的实验结果，可用幂函数建立河网密度的数学模型： ，a 和b 是待定参数；3） 我国多年来的编图实践，使得不同密度的地区河流选取形成一套惯用的标准，如下图：3、其他地理要素选取主要使用方根模型 ①道路网选取指标模型 道路网选取指标可用方根模型确定：xF A A F M M n n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=。

随着比例尺的缩小,选取级别x 应逐渐提高,最高可使用4级。

②独立地物选取指标模型地形图上的地物可根据方根通用模型:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=FAB Z A F MM C C n n 确定选取指标。

③岛屿(湖泊)选取指标模型地形图上岛屿(湖泊)的综合,可按方根基本模型FA AF M M n n =确定选取指标。

二．在空间数据库中,把大比例尺图形数据缩成编小比例尺,图形数据是按要素分层的,各要素应采用什么模型进行具体的选取?答：地图要素结构选取模型是确定选取具体要素的模型。

根据制图物体的结构模型,从大比例尺图上寻找出更重要的一部分物体表示在小比例图上。

结构选取模型主要有等比数列法、模糊数学模型和图论模型。

一般地图要素主要包括河流、道路网、地貌等。

现在分别就这三种地图要素选取不同的模型来叙述。

1、河流结构选取模型河流结构选取模型主要有等比数列法、模糊数学法和图论模型。

现就模糊数学法进行叙述。

1）选取因素集合地图上河流选取主要考虑河流的长度、河流的密度（间距）。

根据地图制图综合原理，河流越长，选取的可能性越大；河流越密（间距越小），选取的可能性越小；另外，还要考虑河流在人文、地理位置上的重要性和河网类型等。

因此，地图上对河流选取的因素集合为 U={u 1（河流长度），u 2（河流间距），u 3（河流的重要性），u 4（河网类型）} 2）河流选取的评判集在地图制图综合中，对河流只有选取或舍去，故河流选取的评判集为 V={v 1（选取），v 2（舍去）} 3）因素权重集影响河流选取的四个因素中，它们所起的作用并不相等，所以要对这些因素分配不同的权重。

根据专家评定和统计分析得)15.0,20.0,30.0,35.0(~=A4)模糊综合评判矩阵为了得到模糊综合评判矩阵，必须确定各因素对选取河流的隶属度。

①河流长度对其选取的隶属度)(~L Aμ的确定 根据等比数列选取表5-2，当河流长为Li 时，资料图上河流间隔为di 时，利用回归分析方法，可求出选取时所需的河流间隔C 。

这个C 值是河流选取和舍去的临界值，隶属度为0.5。

因此，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1]2sin[21210)(~D C L A πμ )2()20()0(C D C D D ≥<<=式中，D 为河流选取时与已取河流间隔值。

②河流间隔对其选取的隶属度)(~D Aμ的确定 在制图综合中，河流间隔越小，选取河流的长度越长；因此，利用回归分析可求出河流长度S 和河流间隔d 之间相关关系。

同样，S 值是河流选取与舍去的临界值，隶属度为0.5。

所以有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1)2/()21(0)(11~L S L L D A μ )2()2()(1111L S L L S L L L L -≥-<<=式中，L 1是选取的最短河流长度，L 为河流长度。

③河流在人文、地理位置上重要性对河流选取隶属度)(~I Aμ的确定 河流在人文、地理位置上重要性对河流选取的作用是比较复杂的模糊概念，根据地图制图的理论知识，采用仿数量化的方法定值（表1）④河网类型对河流选取隶属度)(~C Aμ的确定 河网类型对河流选取的作用也是比较复杂的模糊概念，同样，根据地图制图的理论知识，采用仿数量化的方法定值（表2）⑤模糊综合评判矩阵 对于每个单因素评价为),(~21i i r r R =式中，1i r 为单因素对河流选取的隶属度，2i r 为单因素对河流舍去的隶属度。

因此，模糊综合评判矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(1)()(1)()(1)()(1)(~~~~~~~~~~~~~41413231222112114321C C I I D D L L r r r r r r r r R R R R R AA AAAAAAμμμμμμμμ5）模糊综合评判结果集根据模糊综合评判矩阵R ~和因素权重集A ~，通过模糊变换可得评判结果),()(1)()(1)()(1)()(1)()15.0,20.0,30.0,35.0(~~~21~~~~~~~~b b C C I I D D L L R A B AAAA AAAA=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==μμμμμμμμοο根据最大隶属原则，在21,b b 中，看谁的数值大。

如果21b b >该河流选取。

如果21b b <该河流舍去。

为了防止21b b =情况出现，要采用清晰大的模糊算子。

如M （⊕，·）模糊算子；这里，采用“V”模糊算子。

2、道路网选取模型道路网结构选取模型主要是图论模型。

图1 节点与编号1）道路网图形处理将道路的交叉衔接处定义为节点。

2）建立道路网的邻接矩阵根据eB e eB T n πππ∞→=lim 确定道路网节点集合的衔接矩阵。

3）道路网边值的确定道路等级的高低是决定边值大小的依据。

采用仿数字化的方法，将各种道路的边值确定为铁路：10)(1=x f 公路：3)(2=x f 大车路：1)(3=x f4）确定节点选取数量 5）计算节点强度值6）按选取指标和节点强度值大小进行自动选取图2 借助图论进行选取的1：50万地形图3.地貌结构选取模型地貌结构选取模型基本原理：在地貌综合时，谷地长且间距大的地区，谷地选取可能性大；谷地短且间距小的地区，谷地选取可能性小。

当谷地长度很大时，不考虑谷间距的大小；当谷间距特别大时，也不考虑谷地长度。

但对于切割破碎为特征的地区（例如，风蚀地形、劣地等）。

谷地虽然都比较小而且密度大，那么选取的比例也应大一些。

因此，谷地选取表中除正常使用的部分之外，还要增加一部分在特殊情况下使用的辅表。

地貌结构选取模型：1）谷地长度分级数列Ai 的确定根据图上能表达的长度和实际情况，将谷地分为4级: <1，1~3,3~5,>5mm ，且A 1= 1mm ，A 2= 3mm ，A 5= 5mm ，2）谷间距分级数列Bj 的确定地图上可以表达的最小谷间距为0.5mm ，取B 1=0.5mm ，ρ=1.6. 3）选取表的构成地貌谷地选取表分成两个基本部分，表其结合部的右侧为主表，适用于一般地区，左侧为辅表，适用于特别破碎的地区。

表3 单位：mm1.2～1.9 1.9～3.1 3.1～4.9 4.9～7.97.9～12.6 12.6～20.1 >5 3～5 1～3 <1 2.4 3.6 1.8 2.6 3.8 1.7 2.1 2.7 3.7 2.7 3.4 4.44.45.47.04）选取数列Cn 的确定。

根据表形成地貌等高线表示的谷地选取模型。

三．以数据的分布特征进行分级的方法有哪几种模型？各适应什么情况？ 答：地图制图的空间要素分级主要有以下七种分级模型：1 等差分级模型等差分级又包括界限等差分级模型和间隔递增等差分级模型。

一般，数量间隔趋向呈等差排列，可采用等差分级模型。

例如对统计地图的分级一般采用的就是等差分级模型。

2 等比分级模型等比分级分为界限等比分级模型和间隔等比分级模型。

一般，数量间隔趋向呈等比排列，通常较多运用等比分级方案，如地貌结构选取模型、河流结构选取的数学模型等主要运用这种模型。

间 隔 选取 间 隔 长度3 统计分级模型包括面积相等分级模型、正态分布分级模型及其它分布分级模型。

由于分级界线的确定是以一些统计量为基础的，所以这类分级模型能较好地反映数据的分布特征。

在地图上表示与区域面积分布有关的现象要素分级时，如各级面积均匀相等，或者最大和最小数据的级别所占面积较小，中间级别较大，基本上具有正态分布函数的特征，或者各级面积的对比具有其它分布函数特征，一般采用统计分级模型较为合适。

统计分级模型还可以用来分析分级统计地图或等值线图上各级（层）面积分布的合理性。

4 具有数学法则的最优分级模型包括任意数列分级模型和任意级数分级模型，这类分级模型一般适用于那些数据本身能提供大量信息，可根据一定的数学规则确定分级界线，使分级结果更能反映数据分布特征的情况。

5 最优分割分级模型在地图制图数据处理中，有些样本的次序是很重要的，不能随便将它们的次序打乱。

例如，一些与年代有关的地图制图数据处理，年代就是有序的，最优分割分级模型解决这类数据分级问题比较有效。