a C D
2
2.式子 3x 6 有意义的条件是
A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2
（A） D.x≤2
3.当x=__-1__时，二次根式 x 1 取最小值，其最小值 为___0___．
4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有 意义？
(1) a 1 ;
(2) 2a 3;
(3) a ;
(4) 2 . 5a
解：(1) (2) (3)
a-1 0，a 1.
2a 3 0，a 3 . 2
a 0，a 0.
(4) 5 a＞0，a＜5.
5.(1)若二次根式
m2 m2 4
有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，
解得m≥2且m≠-2，m≠2，
∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式 x2 6x m 都有意 义，求m的取值范围．
小结:
一个正数有两个平方根； 0的平方根为0； 在实数范围内，负数没有平方根； 因此，开方时被开方数只能为正数或0.
一般地，我们把形如 a (a 0)的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“ ” 两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
思考 你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
a b a b a 0,b 0.
探索新知
一般地,对于二次根式的乘法法则:
a b a b a 0,b 0.
拓展: 1.对于多个二次根式进行相乘的运算,则
x y z xyz ( x 0, y 0, z 0)
2.当二次根式前面有因数或因式时,则
解：由题意得x2+6x+m≥0，
即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0，
∴m-9≥0，即m≥9.
16.2 二根次式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
计算下列各式:
(1) 4 _9_=_×_2__=___3_; 6 (2) 16 2_5__×_4__=___5_; 20 (3) 25 3_6_=_×_5__=___6_; 30
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被 开方数≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同 时考虑分母不为零.
总结:
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于0；
②分母中有字母时，要保证分母不为0.
1.下列各式： 3; 5; a2 ; x 1 x≥1；3 27; x2 2x 1.
总结：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均 为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂 及二次根式.
4 已知y= x 3 3 x 8 ,求3x+2y的算术平方根.
解：由题意得
x 3
3≥0， x≥0，
∴x=3，∴y=8，
∴3x+2y=25.
∵25的算术平方根为5，
∴3x+2y的算术平方根为5．
例2 当x是怎样的实数时, x 2 在实数范围内有 意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
（1） 1 ； x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1.
五、归纳总结
(1)本节课你学习了哪些知识？ (2)利用本节课知识，你能解决什么问题？
本节课主要学习了二次根式的定义及被开 方数的取值范围.
利用本节课知识，解决了使二次根式在实数范 围内有意义的被开方数的取值范围问题，此问题在计 算中经常作为隐含条件给出,注意合理应用.
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ C ）
4 9 =____3__6___6;
16 25 =___4_0__0___2; 0 25 36 =___9_0__0___3. 0
观察两者有什么关系？
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： (1) 4 9 = 4 9； (2) 16 25= 16 25； (3) 25 36 = 25 36.
读作：
二次根号m
读作： 根号m
3S
h
65 5
问题1 这些式子分别表示什么意义？
问题2 这些式子有什么共同特征？
表示一些正数的算术平方根
1)．4的平方根是_____；0的平方根是__0____.
2)．5的平方根是_______；5的算术平方根是____.
议一议 （1）-1有算术平方根吗？ （没有） （2）0的算术平方根是多少？ （0） （3）当 a ＜0时，a 有平方根吗？（没有）
一定是二次根式的有
（ B）
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(1)若式子 x 1 在实数范围内有意义，则x的取值 2 范围是_x__≥_1___;
(2)若式子
x
1
2
x 在实数范围内有意义，则x的
取值范围是_x__≥_0_且__x_≠_2__.
• 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术 平方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
二次根式的被开 方数非负
二次根式的值 非负
二次根式的 双重非负性
3 若 a 2 b 3 (c 4)2 0，求a -b+c的值.
解：由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3.
新人教版八年级数学下册全套课件汇总
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第十六章 二次根式
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
16.1.1 二次根式的概念
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个 数叫做a的平方根.
指数
幂
a 底数
2
X
=
X就是a的平方根。
根号
根指数
简写为：
m
2m
被开方数 （m≥0)
(1) 32; (2) 6; (3) 12; (4) -m m≤0；
(5) xy x, y异号; (6) a2 1; (7) 3 5.
分析：是否含二次根号 是
被开方数是 不是非负数
否否
不是二次根式
是 二次根式
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负 数+正数”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不 是二次根式.