• 数学，其英文是mathematics，这是一个复 数名词，“数学曾经是四门学科：算术、 几何、天文学和音乐，处于一种比语法、 修辞和辩证法这三门学科更高的地位。” • 生活中，数学无处不在！那麼，数学是怎 样产生的?它起源於何时呢?这可是些不易 回答的问题，因为基本数学概念的原始积 累过程，发生在人类创造出文字来记录自 己的思想之前。
• 关於数学的起源，流传着一些古老而神奇 的传说。相传在非常非常遥远的古代，有 一天，从黄河的波涛中忽然跳出一匹“龙 马”来，马背上驮着一幅图，图上画着许 多神秘的数学符号，后来，从波澜不惊的 洛水里，又爬出一只“神龟”来，龟背上 也驮着一卷书，书中阐述了数的排列方法。 马背上的图叫做“河图”，龟背上的书叫 做“洛书”，当“河图洛书”出现之后， 数学也就诞生了。
• 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分 重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是 孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说 还没有形成完整统一的学科。 • 自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论 内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某 些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊 时代的数学家对于数论中一个最基本的问题—— 整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、 约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。 后来的各个时代的数学家也都对整数性质的研究 做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到 完善。
• 在《算术探讨》中，高斯把过去研究整数 性质所用的符号标准化了，把当时现存的 定理系统化并进行了推广，把要研究的问 题和意志的方法进行了分类，还引进了新 的方法。 • 数论形成了一门独立的学科后，随着数学 其他分支的发展，研究数论的方法也在不 断发展。如果按照研究方法来说，可以分 成初等数论、解析数论、代数数论和几何 数论四个部分。
• 另外，对数学还有一些更加广义的理解。如，有 人认为，“数学是一种文化体系”，“数学是一 种语言”，数学活动是社会性的，它是在人类文 明发展的历史进程中，人类认识自然、适应和改 造自然、完善自我与社会的一种高度智慧的结晶。 数学对人类的思维方式产生了关键性的影响．也 有人认为，数学是一门艺术，“和把数学看作一 门学科相比，我几乎更喜欢把它看作一门艺术， 因为数学家在理性世界指导下（虽然不是控制下） 所表现出的经久的创造性活动，具有和艺术家的， 例如画家的活动相似之处，这是真实的而并非臆 造的。数学家的严格的演绎推理在这里可以比作 专门注技巧。
• 从人类社会的发展史看，人们对数学本质特征的 认识在不断变化和深化。“数学的根源在于普通 的常识，最显著的例子是非负整数。"欧几里德的 算术来源于普通常识中的非负整数，而且直到19 世纪中叶，对于数的科学探索还停留在普通的常 识，”另一个例子是几何中的相似性，“在个体 发展中几何学甚至先于算术”，其“最早的征兆 之一是相似性的知识，”相似性知识被发现得如 此之早，“就象是大生的。”因此，19世纪以前， 19 人们普遍认为数学是一门自然科学、经验科学， 因为那时的数学与现实之间的联系非常密切，随 着数学研究的不断深入，从19世纪中叶以后，数 学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位，这 种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们 认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在 代数结构、序结构和拓扑结构这三种母结构之上。
• 在整数性质的研究中，人们发现质数是构 成正整数的基本“材料”，要深入研究整 数的性质就必须研究质数的性质。因此关 于质数性质的有关问题，一直受到数学家 的关注。 到了十八世纪末，历代数学家积 累的关于整数性质零散的知识已经十分丰 富了，把它们整理加工成为一门系统的学 科的条件已经完全成熟了。德国数学家高 斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算 术探讨》，1800年寄给了法国科学院，但 是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高 斯只好在1801年自己发表了这部著作。这 部书开始了现代数论的新纪元。
• 其它数学分支学科 ： • 算术、初等代数、高等代数、数论、欧式 几何、非欧几何、解析几何、微分几何、 代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形 几何、微积分学、实变函数论、概率和数 理统计、复变函数论、泛函、计算数学、突变理论、数学物理
数学的起源与发展
• 数学与其他科学分支一样 ，是在一定的社会条件 下，通过人类的社会实践和生产活动发展起来的 一种智力积累．其主要内容反映了现实世界的数 量关系和空间形式 ，以及它们之间的关系和结 构．这可以从数学的起源得到印证 。 • 古代非洲的尼罗河、西亚的底格里斯河和幼发拉 底河、中南亚的印度河和恒河以及东亚的黄河和 长江，是数学的发源地．这些地区的先民由于从 事农业生产的需要，从控制洪水和灌溉，测量田 地的面积、计算仓库的容积、推算适合农业生产 的历法以及相关的财富计算、产品交换等等长期 实践活动中积累了丰富的经验，并逐渐形成了相 应的技术知识和有关的数学知识 。
• 数学是一门最古老的学科,它的起源可以上 溯到一万多年以前。但是，公元1000年以 前的资料留存下来的极少。迄今所知，只 有在古代埃及和巴比伦发现了比较系统的 数学文献。 • 然后许多近代的数学家也为其做出了重要 的贡献
• 远在1万5千年前人类就已经能相当逼真地 描绘出人和动物的形象。这是萌发图形意 识的最早证据。后来就逐渐开始了对圆形 和直线形的追求，因而成为数学图形的最 早的原型。在日常生活和生产实践中又逐 渐产生了计数意识和计数系统，人类摸索 过多种记数方法，有开始的结绳记数，用 石块记数，语言点数进一步用符号，逐步 发展到今天我们所用的数字。图形意识和 计数意识发展到一定程度，又产生了度量 意识。
• 与这种观点相对应，从古希腊的柏拉图开始，许 多人认为数学是研究模式的学问，数学家怀特海 （A. N. Whiiehead，186----1947）在《数学与善》 中说，“数学的本质特征就是：在从模式化的个 体作抽象的过程中对模式进行研究，”数学对于 理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的 技术。”1931年，歌德尔（K，G0de1，1978） 不完全性定理的证明，宣告了公理化逻辑演绎系 统中存在的缺憾，这样，人们又想到了数学是经 验科学的观点，著名数学家冯·诺伊曼就认为，数 学兼有演绎科学和经验科学两种特性。
• 由欧几里德方法提出来的数学看来象是一门系统 的演绎科学，但在创造过程中的数学看来却像是 一门实验性的归纳科学。”弗赖登塔尔说，“数 学是一种相当特殊的活动，这种观点“是区别于 数学作为印在书上和铭，记在脑子里的东西。” 他认为，数学家或者数学教科书喜欢把数学表示 成“一种组织得很好的状态，”也即“数学的形 式”是数学家将数学（活动）内容经过自己的组 织（活动）而形成的；但对大多数人来说，他们 是把数学当成一种工具，他们不能没有数学是因 为他们需要应用数学，这就是，对于大众来说， 是要通过数学的形式来学习数学的内容，从而学 会相应的（应用数学的）活动。
• 事实上，上述对数学本质特征的认识是从数学的 来源、存在方式、抽象水平等方面进行的，并且 主要是从数学研究的结果来看数学的本质特征的。 显然，结果（作为一种理论的演绎体系）并不能 反映数学的全貌，组成数学整体的另一个非常重 要的方面是数学研究的过程，而且从总体上来说， 数学是一个动态的过程，是一个“思维的实验过 程”，是数学真理的抽象概括过程。逻辑演绎体 系则是这个过程的一种自然结果。在数学研究的 过程中，数学对象的丰富、生动且富于变化的一 面才得以充分展示。波利亚（G. Poliva，1888一 1985）认为，“数学有两个侧面，它是欧几里德 式的严谨科学，但也是别的什么东西。