非参数统计学讲义主讲：统计系 袁靖第五章 相关和回归§1 引言所谓相关，是指两组或两组以上观察结果之间的连带性或联系。

换句话说，也就是各组观察结果所反映的特性之间有关系。

如几个亲生兄弟间的智商与出生顺序有关系，受教育程度与性别有关系，出生率X 和文盲率Y 之间的关系等等。

在实际问题的研究中，人们常常想知道两组或两组以上的观察结果是否有联系，同时也想知道联系的程度如何。

前面的统计检验能够在一定的显著性水平上，确定各组观察值的关系是否存在。

相关方法被用来度量两个或更多变量之间的线性关系的强度，是回归分析的基础。

在数理统计学中，我们使用相关系数定义变量X 和变量Y 之间的相关性。

)var()var(),cov(),(Y X Y X Y X corr ==ρ1(0.1)对于样本),(11Y X ，),(22Y X ，……，),(n n Y X 来说，Pearson 相关系数为∑∑∑∑∑∑----=----=222211)()())(()()())((Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y X X r i i i i i i ni i n (0.2)如果在这个样本中的n 个观察值独立，则r 是ρ的渐近无偏估计；如果它又是二元正态分布，则r 是ρ的ML 估计。

为了检验0:0=ρH ，0:1≠ρH ，可以选取统计量)2(~122---=n t r n rt结论：Pearson 相关系数度量的是一种线性关系，而我们所要介绍的非参数的Spearman 秩相关系数s r 和Kendall τ相关系数实际上度量的是一种形式的相依联系，或是更广义的单调关系。

因此相关的概念被推广，不仅指线性相关，而泛指相依或联系。

§2 两个样本的相关分析一、等级相关等级相关(Rank Correlation)也称作级序相关，用于两个至少是定序尺度测量的样本问相关程度的测定研究背景1ρ度量了总体样本点在标准差线周围的聚集程度，详见笔记P38。

1．基本方法两个样本X 、Y ，其观察数据可以配对为),(11Y X ，),(22Y X ，……，),(n n Y X 。

将n x x x ,,,21 排序后评秩，其秩记作U ，与i x 相对应的秩为),,2,1(n i U i =；同样，n y y y ,,,21 排序后评秩，秩记作V ，与i y 相对应的秩为),,2,1(n i V i =。

这样得到的n 对秩),(11V U ，),(22V U ，…，),(n n V U 可能每一对完全相等，也可能不等。

由于每一样本都是n 个数据评秩，因此i U 与i V 的取值都是从1到n 。

X 、Y 的秩可能完全一致，即对于所有的i 来说，有i U ＝i V ，表5—1是完全一致的评秩结果。

X 、Y 的秩可能完全相反，表5—2是完全相反的评秩结果。

如果X 、Y 完全相关，应该对于所有的i 有i U ＝i V ，即i U —i V ＝0。

因此，i U 与i V 之差可以用来度量X 、Y 的相关程度。

定义i i i V U D -=X 的秩 Y 的秩 1 1 2 2 ……n －1 n －1 nn X 的秩 1 n 2 n －1 …… n －1 2 n 1i i i D 可正可负，直接用∑=ni i D 1测度相关，会出现正负i D 抵消，而不能真实反映i U 与i V 差值的大小，所以宜采用∑=ni i D 12，即∑∑==-=ni i i ni i V U D 1212)((0.3)（5.3）式的这个秩差值平方和的大小既受到n 的多少的影响，又受到两组秩不一致程度的影响，因此，采用相对的测量指标有利于说明X 、Y 的相关程度。

因为∑2i D 的最大值反映X 、Y 完全不相关的情况，所以，用（5.3）式除以∑2i D 的最大值，可用来评价X 、Y 之间秩的差值是否与完全不相关时接近。

若实际计算的∑2i D 与X 、Y 完全不相关情况下的∑-2)(i i V U 接近，那么两个样本的相关程度较低，若实际计算的∑2i D 与∑2i D 最大值的比越小，则两个样本的相关程度越高。

∑2i D 的最大值即X 、Y 间完全不相关情况下的秩差值平方和，可以根据表5—2所列的数据计算。

因为这是X 、Y 完全不相关的评秩结果。

∑2i D 的最大值为3/)1(])3()1[(2)1()]1(2[]2)1[()1(2222222-=+-+-=-+--++--+-n n n n n n n n(0.4)（5.4）式的中括号内最后一项，当n 为奇数时是22；n 为偶数时是12。

（5.3）式除以（5.4）式得到)1(33/)1(2222-=-∑∑n n D n n D i i (0.5)（5.5）式的取值从0到1。

根据表5-1中的数据计算（5.5）式值为0，表5-2中的数据计算的（5.5）式值为1，即X 、Y 的秩完全一致时，（5.5）式的值为0，X 、Y 的秩完全不一致时，（5.5）式的值为1。

测度两个样本等级相关程度可以象参数方法一样，定义等级相关系数作为标准。

斯皮尔曼的等级相关系数(Spearman coefficient of rank correlation)是测定两个样本相关强度的重要指标。

其计算公式为)1(6122--=∑n n D R i (0.6)斯皮尔曼相关系数也写为s r ，在有下标注以s 是为表明这个相关系数r 不是积矩相关的简单相关系数，而是等级相关的Spearman 相关系数。

注：①由于（5.6）式与（5.5）式不同，所以，R 的取值从一1到十1，1=R 表明X 、Y 完全相关，R ＝十l 为完全正相关，R ＝一1为完全负相关。

R 越接近于l ，表明相关程度越高，反之，R 越接近于零，表明相关程度越低，R ＝0为完全不相关。

R ＞0为正相关，R ＜0为负相关。

通常认为8.0>R 为相关程度较高。

②Spearman 秩相关系数检验临界值查表可得，P198。

③存在打结时，Spearman 统计量要作相应修正。

④在大样本时，可用正态近似作检验。

)1,0(1N n n r Z s ∞→-=2．应用【例5-1】经济发展水平和卫生水平之间的相关分析对某地区12个街道进行调查，并对经济发展水平和卫生水平按规定的标准打分，评定结果如表5—4。

街道号 经济水平卫生水平 街道号 经济水平 卫生水平1 82 86 7 84 80 2 87 78 8 78 773 60 65 9 80 754 98 88 10 94 96 575641185856 89 90 12 68 70序尺度测量的样本进行相关分析，可以采用等级相关系数测定。

必要的计算过程如表5—5所列。

根据（5—6）式可得8881.01119.01)112(123261)1(61222=-=-⨯-=--=∑n n D R i由于R ＝0．888l ＞0．8，所以该地区的经济发展水平和卫生水平存在着正相关关系，相关程度较高，为88．81％。

街道号 经济水平（U ） 卫生水平（V ）D=U-V D 1 6 9 -3 9 2 9 6 3 9 3 1 2 -1 1 4 12 10 2 4 5 3 1 2 4 6 10 11 -1 1 7 7 7 0 0 8 4 5 -1 1 9 5 4 1 1 10 11 12 -1 1 11 8 8 0 0 12 2 3 -1 1 合 计323．同分处理当观察值是评的分数时，可能在同一个样本中出现相同的评分，如成绩都是80等等。

同分的秩仍旧是等于几个同分值应有秩的平均值。

如果同分的比例不大，它们对秩相关系数及的影响可以忽略。

但若同分的比例较大，则计算只时应加入一个校正因子。

对于X 的同分校正因子为12)(3∑∑-='i i u u u ，Y 的同分校正因子为12)(3∑∑-='i i v v v 。

于是斯皮尔曼秩相关系数的计算公式为：v n n u n n v u D n n R i '--'--'+'---=∑12)1(12)1()(66)1(2222 (0.7)式中，u 是X 中同分的观察值数目，v 是Y 中同分的观察值数目。

【例5-2】经济发展水平和卫生水平之间的相关分析某地区对24个区县进行调查，并对经济发展水平和卫生水平按规定标准评分，结果如表5—6。

分析：将表5—6的评分转换为秩次，从高往低排序，同分的秩取平均值，结果见表5—7。

根据公式5.6计算8491.01509.01)124(2434761)1(61222=-=-⨯⨯-=--=∑n n D R i由于经济水平和卫生水平的评分中均有同分，应采用校正因子修正。

利用5.7式计算修正的R 为8490.012)575(2416)575(24)1216(2/1)347(6)575(2412)1(12)1()(66)1(2222=-⨯-⨯+⨯-⨯-⨯='--'--'+'---=∑v n n u n n v u D n n R i对比两个R 值可知，由于同分的观察值数目占观察值总数目的比例不是很大，因而校正后的R 与校正前的R 变化不大。

但是，校正前的只略大于校正后的R ，这说明同分对只的影响虽然很小，但同分的影响是夸大R 值。

因此。

在X 、Y 中至少有一个存在大量同分时，应进行校正。

区县编号X的秩次（U）Y的秩次（V）D=U-V D1 1 14 -13 1692 2.5 3.5 -1 13 2.5 2 0.5 0.254 4 1 3 95 5 5 0 06 6 6 0 07 7 11 -4 168 8 3.5 4.5 20.259 9.5 9 0.5 0.2510 9.5 10 -0.5 0.2511 11 16.5 -5.5 30.2512 12.5 8 4.5 20.2513 12.5 15 -2.5 6.2514 14 7 7 4915 15 12 3 916 16 13 3 917 17 18 -1 118 18 16.5 1.5 2.2519 19 20 -1 120 20 19 1 121 21 21 0 022 22 22 0 023 23 24 -1 124 24 23 1 1 合计347.004．R的显著性检验利用相关系数及其修正的公式计算的R值，是抽自两个总体的样本数据计算的结果，从这一相关系数的大小，可猜测总体的秩相关系数是否与零有显著差异，但是否为真，应进行假设检验。

对R的显著性检验正是为了回答这一问题。

检验可以仅研究两个总体是否存在相关，也可以分别研究相关的方向，即是正相关，还是负相关。

针对研究问题的不同，可以建立不同的假设组。