22 p

22
ur 2 r

(2
22 )2 p

2
2

1 r
p r

2 p z 2

2s rz

Trz 2


2

u r 2 z

u z 2 r


2
2
jk
p K1 (
pa)B(k)

(2k
2
（3）积分上下限分析 波数在（-kb，kb）之间 k kb ,
kb sin kb ,
2
入射角在 , 全部 声射线 2 2
第二 章 声波测井-声波传播
第一节 等效弹性地层井中声波传播
二、井中入射波和反射波分析
2．反射波特性
反射波在波数k复平面上，被积函数存在若干极点± kb、 ± ks、 ± kp，由割线积分 得到

第二 章 声波测井-声波传播
第一节 等效弹性地层井中声波传播
一、波动方程及解
2．边界条件
Q Trr2m 1 ur2m b 2
2
b
1

ak
2 s

1 2

2k 2
k
2 s
2 1
K0 ( pa) u p K1( pa)
2k 2s
b r)e j(tkz) dk
r
C

b K1 b I1
(b (b
a)Q a)Q

K0 (ba) I0 (ba)
I0
(b
r)e
j(t kz) dk
1．入射波分布
把被积函数从实轴延拓到复数k平面，当Z为正，
-kb
k在下半平面k ，
K0 (br) K0 ( k 2 kb2 r) 0

A z e 2 j(tksz) s
J0 (br)
讨论：（1）b中i项r与割线积分中第一项抵消，说明在理想情况下井中最终声
场不存在入射波成分。
（2）反射波是临界角内反射波（包含滑行波），其纵波和横波幅度沿Z轴方 向是扩散衰减的，因此在声源发射功率一定时，源距选择受到限制。
第二 章 声波测井-声波传播
波动理论一般是指从弹性波动力学出发，通过求解所研究区域中满 足一定边界条件和初始条件的波动方程，表述和分析目标区域中某一点 在某一时刻的波动场 —声场 。通过积分分析解、数值模拟，获得全波 波形和各组分波的解，从而分析各组分波的特性。
第二 章 声波测井-声波传播
第一节 等效弹性地层井中声波传播
一、波动方程及解
声波测井方法和应用
主讲人：章成广 长江大学
地球物理与资源学院
第二 章 声波测井-声波传播特征
射线声学分析: 在井内激发的波有直达波（入射波）、滑行纵波和滑行 横波、反射波和全反射波及多次反射波。射线声学只有在声波的波长远 远小于介质的几何尺寸时，射线声学才能适用。声波测井的频率比较低， 因而波长与井径相比较大，所示实际测井中的波列无法完全用射线声学 解释。在现场测井中所记录的全波形，实际上是由各种组分波叠加的总 效应，像直达波和临界角内的反射波是很难观察到的，而且也会表现出 一些用射线声学不能完全解释的问题，如实际测井中的面波伪瑞利波和 斯通利波等。射线声学理论只是严格的波动理论的一种近似，要透彻地 了解井中激发的全波列波形中各组分波，就必须要利用波动理论来研究 井中的声波传播问题。
k
4 s
K0 K1
(s (s
a) a)

Z P2 v2
Trr 2 u r 2

Trr 2 ju r 2
jbQ
t
3．井中声场积分式 A(k ) b K1 (Qb与a地)层Q声阻抗有K关0的(参数 b a) 考虑到声源是频率的函数，因此系3数A可b 以I1写(成频b谱a函)数QS() I 0 ( b a)
考虑到泥浆中有入射波与反射波，地层中只有折射纵波和折射横波，且入射波在井轴处幅度最大，远离井轴幅度 减小；反射波在井壁处幅度最大，向井内传播幅度减小；折射波在井壁处幅度最大，向地层传播幅度减小。再考 虑到各种k值范围有各种具体解（井中泥浆波、地层中纵波和横波），其解是各组分波的叠加结果
b (r)
Z P(r,,z)
a
0
Y

X
(Ⅰ)
(Ⅱ)
b ,Vb ,Vp ,Vs
轴对称下柱状座标
所谓等效弹性地层是不考虑孔隙影响，把地层看
作均匀各向同性弹性地层。它是研究声波全波测
井声传播的基础
(

)
u

2u

f


2u
t 2

ub b u p
C
kb kb
K0下 （b r） K0上 （b r）e jkz dk
C j
i
kb kb
J0
(br)e
j(tkz) dk
J0为实数零阶Bessel函数，k为轴向 （Z）上波数，为径向（r）上波数
第二 章 声波测井-声波传播
第一节 等效弹性地层井中声波传播
0

2 r 2

1 r
r

1 r2

2 z 2

2 Vs2
s (r,t)

0
(i b, p)

第二 章 声波测井-声波传播
第一节 等效弹性地层井中声波传播
一、波动方程及解
1. 波动方程及一般解
分离变量法: i (r, z) Ri (r)Z(z) s (r, z) Rs (r)Z(z)
2

k
2 s
)
K1
(
P
a)
B(k
)
A(k ) b K1 (b a)Q K 0 (b a) b I1 (b a)Q I 0 (b a)
B(k) A
(1
2
k2
k
2 s
)
p K1 ( p a)[b I1 (b a)Q I 0 (b a)]a
C(k) A
第一节 等效弹性地层井中声波传播
二、井中入射波和反射波分析
2．反射波特性
（3）反射纵波和横波具有共振频率。为了考虑反射波的频率特性，取波数±kp， 此时传播速度为Vp，只有一条射线的k分波，即滑行纵波：
r

CK1 (b a) I1(ba)
I
0
(b
r)e
j (t kz)
、0分别为计算和参考角频率；
Q0为品质因子低频RL ST 高频RL
-3 0
500
1000
1500
2000 2500
时间(s)
第二 章 声波测井-声波传播
第一节 等效弹性地层井中声波传播
二、井中入射波和反射波分析
声场中包括入射波和反射波两部分 ：
只考虑瞬时频率情形

i C K0 (

r s
a
r a
2b

1 Vb2
2b t 2
0
2 p
2 s

1
V
2 p

1 Vs2
2
t 2
2 s t 2
p 0 0
ra
r a
ra
ur

r
1 r
z
0
其中是r与X轴的夹角，
取 x r cos
Z


kb
J0 (br)e jkz

1
2
e d 2 j ( b xkz)
0

X 0
由于kb2=k2+b2，k是kb在Z轴上的投影， b是k在X轴上的投影，kb与X轴上的交角就是入
射角。被积函数表示在XOZ面上内传播的平面波，波的传播方向就是kb方向。对积分表 示绕Z轴旋转一周，合成的波阵面为锥面波。因此kb表示为一支方向传播的分波，它的波 阵面是锥面。

A[ K 0
(br)

A(k ) I
0
(b
r)]e
j
(t
kz)
dk

p (r)

B(k
)K
0
(
p
r
)e
j
(t
k
z)
dk

s (r)

C
(k
)K1
(
s
r
)e
j (t k z)
dk

2．边界条件
1）井壁上（r=a）切变应力连续Trz1=Trz2 2）井壁上（r=a）法应力连续Trr1=Trr2 3）井壁上（r=a）径向位移连续urr1= urr2
a)]
Trz1 0


ur2

p r

s z
B(k)u p K1( pa)
jk C(k ) K1 ( s a)

uz2

p z

1 r
(rs ) r


jkB(k)K0 (Pa) C(k)s K0 (sa)
Trr 2
P(r,
z,t)

1
4
2

2
S()e jt d

1

[
K
0
(b
P
r
)

A(k
S
)
I
0
(b
r
)]e

jkz
dk