B0 Bi 1 Bi B j B j 1 B0 ，车辆行驶的总里程为： Sb d 0,i 1 di 1,i di, j d j , j 1 d j 1,0
显然，改变后的方案与改变前相比，车辆行驶总里程的节约量为：
Si, j d 0,i d 0, j di, j
14
表 6-1 里程表
B0
（单位：公里）
8 5 9 12 13 12 17
B1
8 15 17 7 11 14
B2
7 9 10 7 12
B3
3 17 11 16
B4
18 11 15
B5
8 8
B6
5
B7
15
解： 设 tij (i 0,1,,7；j 1,2,,7) 为 i、j 两点是否连接在一起的决 策变量，并对其取值作如下定义：
qk 1 qk、b j q1、 b j qk 。求最短总配送路线与车辆调度
j
n
方案。
23
为方便建立数学模型，将配送中心编号 0 与用户编号 j ( j 1,2,n) 统 一起来，用 i，j (i 0,1,n；j 0,1,n) 表示。定义如下变量：
1 y ki 0 1 xijk 0
k i 1,2, n j 0,1, n；k i 0,1, n；k
（6.5a） （6.5b） （6.5c）
（6.5d） （6.5e)
j 0,1, n； k i 0,1, n； k i, j 0,1, n； k
25
模型的约束条件中： （6.5a）表示每台车所运送的货物不超过其载 重量； （6.5b）表示每个需求点必须由一台车且只由 一辆车送货； （6.5c）表示若用户点j由车辆k送货，则车辆 k必须从某点i到达j点； （6.5d）表示若用户点i由车辆k送货，则车辆 k送完i点的货后必须到达另外一点j； （6.5a）中的S为消除支路约束，即消除构成 不完整线路的解。
j-1
7
ij
2
j 1， 7 2，
（6.4）
16 按节约量公式（6.2）计算任意两用户之间的节约量，列于表 6-2。
表 6-2 节约量表
B0 B1
（单位：公里）
5 2 3 14 9 11
B2
7 8 8 10 10
B3
18 5 10 10
B4
7 13 14
B5
17 22
B6
24
B7
17
第一步，求初始解。 每用户各派一台车单独送货，得初始方案如表 6—3。表中 半括号中的数字为 tij 的取值。此方案的总行程为 152 公里。
2
VRP问题的描述
VRP问题一般可描述为：对一系列装货点或 （和）卸货点，组织适当合理的行车路线，使车 辆有序地通过它们，在满足一定的约束（如货物 需求量、发送量，车辆容量、数目限制、车辆行 驶里程限制等）条件下，达到一定的目标（如最 短路程、最小费用、最短时间、最少车辆等）。
3
VRP问题的分类
VRP问题又根据不同标准分为：车辆满载问题 （一个用户的货运量大于一辆车的容量，完成任 务需要多辆车）与非满载问题（一个用户的货运 量不大于一辆车的容量，完成任务只需要一辆 车）、单车场问题（一个货场或一个配送中心） 与多车场问题（多个货场或多个配送中心）、单 车型（所有车辆容量相同）与多车型问题（车辆 容量不全相同），以及优化目标的单目标与多目 标问题。
Si, j d 0,i d 0, j d i, j
式 6.2 与式 6.1 完全一样，是有名的节约量公式。
Bi
(6.2)


Bj
Bi


Bj

B0 (a) 图 6-2

B0 (b)
10
节约法原理图
第二节 单中心配送路线选择与车辆调度
一、单车非满载配送路线安排
单车非满载配送路线安排，是指一个配送中心
19
第三步，连接 B6与B7 ，按 t ij 的定义和公式（6.4） 修正 t ij 的值。 即令 t 6， 1 ，由公式（6.4）得： 7
t 0， 1 6 t 0, 7 1
得改进方案如表 6-4，改进后的方案比原方案节约行 程 24 公里。
20
表 6-4
B0
改进方案
（单位：公里）
2） 2） 2） 2） 2） 1） 1）
5
2.精确算法的局限性
VRP问题的求解方法可分为两大类，即精 确算法和启发式算法。精确算法主要有分 枝定界法、割平面法、网络流算法、动态 规划方法等。精确算法随着配送系统规模 的增大，其计算量呈指数递增，使得获取 系统最优解越来越困难。因此，精确算法 在实际应用中受到很大的局限。
6
三、节约法原理 为了克服精确优化方法的不足，人们提出了许 多能获得“满意”解的启发式算法。启发式算法 是一种基于直观或经验构造的算法，它运用一些 经验法则，并通过模仿人的跟踪校正过程来求得 系统的满意解。 配送问题的启发式算法中最具有代表性的是由 克拉克（Clarke）和怀特（Wright）提出的节约 法（Saving Method）。
用户i由车辆k配送； 否则。 否则。
i 1,2, n；k 1,2, m i j；i，j 0,1, n；k 1,2, m
车辆k从i点行驶到j点；
可建立该问题的数学模型如下：
24
min Z cij xijk
i 0 j 0 k 1
n
n
K
n bi y ki q k i 1 m y ki 1 k 1 n xijk y kj ii 0j n xijk y ki j 0 j i X ( xijk ) S y kj 1 或 0 y ki 1 或 0 xijk 1 或 0
B3
18 1） 5 10 10
B4
7 13 1） 14
B5
17 22 1）
B6
24 1）
B7
满意配送方案的配送路线为：B0—B1—B5—B7—B6—B4—B3—B2—B0，总行程 54 公里。
22
二、多车非满载配送路线安排与车辆调度
问题描述：一个配送中心 B0 向 n 个用户 B j ( j 1,2,n) 配 送货物，用户 B j 的需求量为 b j ；配送中心配有 m 台配送车，编 号为 k (k 1,2,m) ，每台车的载重量为 qk (k 1,2,m) ，且
7
节约法的基本原理：
如 图 6-1 （ a ） 所 示 ， 配 送 中 心 B0 派 两 辆 配 送 车 给 四 个 用 户
Bi 1、Bi、B j、B j 1 送货，两辆车的配送路线分别为 B0 Bi 1 Bi B0 和 B0 B j B j 1 B0 ，两辆车行驶的总里程为：
S a d 0,i 1 d i 1,i d i ,0 d 0, j d j , j 1 d j 1,0
Bi Bi-1

Bj
Bi
Bj


Bj+1
Bi-1
Bj+1

B0 (a) 图 6-1 配送方案改进

B0 (b)
8
假定运输网络中的任意两点之间都有路径可以连通，且最短距离已 知。如果配送中心有更大的车辆，即一辆车能完成四个用户的送货，这 时可将图 6-1（a）的配送方案改变成图 6-1（b）的方案，配送路线为
tij 1 表示 i、j 点连接，即在同一巡回路线中； tij 0 表示 i、j 点不连接，即不在同一巡回路线中； t 0 j 2 表示用户点 j 与配送中心 B。连接两次，即由一辆车单
独给用户 Bj 送货。 根据以上定义，应有以下等式成立：
t t
i 0 ij i j 1
第六章
主要内容：
配送路线安排与车辆调度
配送路线安排与车辆调度问题及算法讨论； 单中心配送路线安排与车辆调度； 多中心配送路线选择与车辆调度； 货车配载。
1
第一节 配送路线安排与车辆调度问题 及节约法原理 一、配送路线安排与车辆调度问题
配送路线安排与车辆优化调度常被分为车辆路 线安排问题（Vehicle Routing Problem，简记 VRP）和车辆调度问题（Vehicle Scheduling Problem，简记VSP），前者仅从空间位置考虑车 辆路线的安排和车辆调度，后者则要考虑时间要 求。显然VSP问题比VRP 问题讨论的范围宽。本 书主要讨论VRP问题。
B0 用一辆载重量为 Q 的货车给 n 个用户 B j ( j 1,2,n)
巡回送货， 用户
n j 1
…， n ） ， B j 的需求量为 b j （ j 1 ，2 ，
且 b j Q 。如果任意两点之间的距离 cij 已知，求行 程最短的送货路线。
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将配送中心也作为一个用户点，货车从配 送中心出发，对所有用户巡回送货后回到配送 中心，这样就把单车非满载车辆的配送路线安 排问题转化为n+1个点的旅行商问题 （Traveling Salesman Problem，简记TSP）。 它的解是：从配送中心出发，对所有用户巡回 一次回到配送中心的距离为最短的路线。
i j；
（2） Bi、B j 尚未连接在同一巡回路线上。 条件（1）保证用户点 i、j 不是内点。所谓“内点” 是指不与配送中心直接连接的点。 如果最大节约量有两个或两个以上相同时，可随机取 一个。 按此条件，在初始方案表 6—3 中寻得具有最大节约 量的一对用户为 i=6、j=7，其节约量为 24 公里。
（6.1 ）
9
图 6-2 是节约法的基本原理图，其中图(a)方案为配送中心对两个用户 分别单独派车送货，两辆车送货总行程为：