2013年全国高中数学联赛江苏赛区预赛模拟训练（三）班级__________姓名__________1、复数123,1z i z i =+=-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第__________象限 解：123(3)(1)24121(1)(1)2z i i i i i z i i i ++++====+--+，故对应的点位于第一象限 2、设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这5个球随机放入这5个盒子内，要求每个盒子内放一个球，记“恰有两个球的编号与盒子的编号相同”为事件A ，则事件A 发生的概率为__________解：事件总数为55120A =，A 发生可分两步完成，首先选盒子编号与球编号相同的，共有25C 种情况，不妨设为4号与5号，则第二步需要将1,2,3号球与盒子完全装错，只有两种情况（2,3,1或3,1,2），故25552C P A ⋅==16320132013a x ++201320132a ++=解：令0x =，可得：01a =，令12x =201320132a ++=201320132a ++=改编：求12201322013a a a +++的值解：对已知等式两边求导可得：201220121220132013(12)(2)22013x a a x a x --=+++令1x =，得：12201322013a a a +++4026=-4、已知32n n a =⋅，把数列{}n a 的各项排成三角形状如右图所示，记(,)A i j 表示第i 行中第j 个数，则(10,8)A =解：各行数的个数构成一个等差数列，则前9行共有99(91)912812S ⨯-=⨯+⨯=项，∴ (10,8)A 是数列{}n a 中的第89项，∴89(10,8)32A =⋅5、已知f (x )＝sin(π2＋α－x )＋cos(5π2－α－x )是偶函数，且－π2＜α＜π2，则满足条件的实数α有 个．12345678910111213141516a a a a a a a a a a a a a a a a解：f (x ) =f (－x )，⇒cos(α－x )+sin(α+x ) =cos(α+x )+sin(α－x )，⇒cos(α+x )－cos(α－x )=sin(α+x )－sin(α－x )，⇒－sin αsin x=cos αsin x ，⇒tan α=－1，⇒α=k π－π4(k ∈Z )，－π2<α<π2，⇒k=－2，－1，0，1，2，3，共6个值．6、甲、乙、丙三人互相传球，先由甲开始作第一次传球，则5次传球后球仍回到甲手中的不同的传球方式共有 ．解：5次任意传球，第5次给甲，有24种方法，其中第4次传到甲时，第5次不可能给甲，故应减去23种方法，再加上22种方法，减去2种方法，共有24－23+22－2=10种方法． 7、已知(x 0，y 0)是直线x ＋y ＝2k －1与圆x 2＋y 2＝k 2＋2k －3的交点，则当x 0y 0取最小值时，实数k 的值等于 ．解：以y=2k －1－x 代入圆方程得：2x 2－2(2k －1)x +3k 2－6k +4=0． 14∆=－2k 2+8k －7≥0，⇒4－22≤k ≤4+22． 2xy=(x +y )2－(x 2+y 2)=3k 2－6k +4=3(k －1)2+1，在k=4－22时取得最小值．8、已知点M 、N 分别在大小为60°的二面角α－a －β的α、β内，又点P 到α、β的距离依次为2与3，则ΔPMN 周长的最小值等于 ．解：作P 关于α、β的对称点Q 、R ，则QR 2=42+63－2⨯4⨯6⨯cos120︒=76．故最小值=219．9、S 的整数部分是解：23k<+，<<∴取1,2,,49k =，得491.8与9之间，故8=10、已知非负实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2＋18abc 的最大值等于__________，最小值等于____________解：a 2+b 2+c 2+18abc=(a +b +c )2－2(ab +bc +ca )+18abc ． 但，ab +bc +ca=(ab +bc +ca )(a +b +c )≥33a 2b 2c 2·33abc=9abc ．32OP 23QREABDD∴ a 2+b 2+c 2+18abc ≤1－18abc +18abc=1(当且仅当a=b=c=13时等号成立)又由对称性，可设a ≥b ≥c ，从而a ≥13，故a 2+b 2+c 2+18abc=a 2+(1－a )2－2bc +18abc=2a 2－2a +1+2bc (9a －1)≥2a 2－2a +1=2(a －12)2+12≥12．(a=b=12，c=0时等号成立) 11、定义在实数集R 上的单调函数y ＝f (x )，当x ＜0时f (x )＞1，且f (x ＋y )＝f (x )f (y )对任意实数都成立．又数列{a n }满足a 1＝f (0)，f (a n ＋1)＝1f (－2－a n )(n ∈N *)．(1)求通项a n ．(2)求使(1＋1a 1)(1＋1a 2)…(1＋1a n )≥p 2n ＋1对任意正整数n 都成立的实数p 的最大值．解：⑴ 1︒ f (x )≠0，否则f (y )=f (x +y －x )=f (x )f (y －x )=0，矛盾． 2︒ f (x )=f (x 2)f (x2)>0．3︒ f (x )=f (x +0)=f (x )f (0)，但f (x )≠0，⇒f (0)=1．a 1=1．∴ f (a n +1)f (－2－a n )=f (a n +1－a n －2)=1=f (0)，由f (x )单调，⇒a n +1－a n －2=0，⇒a n +1=a n +2． ∴ a n =2n －1．⑵ 1+1≥p 3，⇒p ≤233．记b n =(1+1a 1)(1+1a 2)…(1+1a n )2n +1．则b n +1b n =(1+12n +1)2n +12n +3=2n +22n +12n +3>1．于是b n >b n －1>…>b 1=233．即b n +1≥2332n +3对于一切n 成立．故p max =233．12、如图。

△ABC 中，AB ＞AC ，AE 是其外接圆的切线，D 为AB 上的点，且AD=AC=AE.求证：直线DE 过△ABC 的内心.证明：设角C 的内角平分线与DE 交于点I ，连接,,AI IC CE ,由于AE 是ABC ∆外接圆的切线，故180ACB DAE ∠=-∠，……（5分）又AD AE =，故180DAE -∠ADE AED =∠+∠2AED =∠，故12ACI ACB AED ∠=∠=∠，所以A E I C 、、、四点共圆. ……（10分） IAC IEC AEC AED ∠=∠=∠-∠18018022CAE DAE-∠-∠=- ………………………………（15分）=A CAE DAE ∠=∠-∠21)(21，故AI 为角A 的角平分线， I 为ABC ∆的内心. ………………………………（20分）13、已知l 1、l 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线，过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 作直线m ，使m ⊥l 1，m 与l 2的交点为P ，m 与已知椭圆的交点记作A 与B (如图所示)，求|PB ||PA |的最大值及此时椭圆的离心率．解：l 1：bx －ay=0，l 2：bx +ay=0．m ：ax +by －ac=0．(c=a 2－b 2，e=ca，0<e <1)AB EDCI∴ P (a 2c ，abc )，即P 在椭圆的右准线上．记FAAP =λ(λ>0)，则由定比分点公式得点A 坐标： x=c +λ·a 2c 1+λ；y=λ·ab c1+λ．此坐标满足椭圆方程，代入得：∴ (c 2+λa 2)2+λ2a 4=a 2c 2(1+λ)2．⇒c 4+2λa 2c 2+2λ2a 4=a 2c 2+2λa 2c 2+λ2a 2c 2． 同除以a 4：e 4+2λ2=e 2+λ2e 2．⇒λ2=e 2－e 42－e 2=e 2+1－22－e 2=3－(2－e 2+22－e 2)≤3－22(当2－e 2=2时取等号)．即e=2－2时，λmax =2－1．记t=|PB ||PA |，作椭圆的右准线，分别过A 、B 作此准线的垂线，交准线于M 、N ．由P 在此准线上，知t=|PB ||PA |=|NB ||MA |=|FB ||FA |．⇒|BF |=t |AF |，故|AB |=(1+t )|AF |，又|AB |=(t －1)|PA |，故|AF ||PA |= t －1t +1，即λ=t －1t +1，从而t －1t +1≤2－1，⇒t ≤2+1．当椭圆的离心率=2－2时，|PB ||PA |取得最大值．14、设正整数a ,b ,c 的最大公约数为1,并且abc a b=-，证明:a b -是一个完全平方数. 证: 设d b a =),(,d a a 1=,d b b 1=,其中11(,)1a b =.由于(,,)1a b c =,故有(,)1d c =.代入abc a b=-可得：1111a b d a c b c =- (2) 由(2)知,11|a b c ,又11(,)1a b =,∴ 1|a c .同理可证1|b c ,从而有11|a b c ,设11c a b k =,k 为正整数,代入(2)得11()d k a b =- (3) 由(3)知|k d ,又|k c ,∴|(,)1k d c =,∴2k =. ∴11d a b =-.∴211()a b d a b d -=-=.故成立.。