从第三个量的倍数大于、等于或小
于第四个量的倍数，便有第一个量的倍数对第二个 量的倍数的相应关系”。
35
“两个量的比相等”的这一定义，是正确的、严
格的，部分地解决了危机，使几何的基础牢靠了，
几何从全部数学中脱颖而出。
欧几里得的几何《原本》中也采用了这一定
义，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是
全部严密数学的基础。 但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数 系的扩充和实数理论的建立。
36
3. 无理数与数系的扩张——危机的解决 1）有理数的稠密性
定义：“一个数集在数轴上是稠密的”是指，在
数轴上，每一个不管处于什么位臵，也不论是多么
小的区间（ a, ）中都存在着这个数集中的点。 b 定理：有理数集在数轴上是稠密的。
2）反证法的依据和步骤
依据：逻辑里的“排中律”
（命题A 与 命题非A 中，必有一个是正确
的）。
步骤：
否定原命题 → 推导出矛盾 → 原命题成立。
45
3）哈代对反证法的评论
“反证法是远比任何弃子术更为高超的一种策略。 棋手可以牺牲的只是几个棋子，而数学家可以牺牲整 个一盘棋。”
46
2. 定理：设 m是大于1的自然数， m m p1n prn ， 写成不同素数方幂的乘积为 则 m 是有理数 n1 nr 全是偶数。
1 4 (3n 2)
“形数”体现了数与形的结合； 让我们从又一个侧面了解“万物皆数”。
毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说，
加强了数学中的理论化倾向。
18
② 多个场合下的小整数比
ⅰ产生谐音的各个弦的长度成小整数比
绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数
比，就会发出谐音。例如，1︰2时短弦的音高 8度，2︰3时短弦音高5度，3︰4时短弦音高4 度；当三根弦的长度之比为3︰4︰6时，就得 到谐音。
三边形数
四边形数
五边形数
六边形数
3 6 10 15
4 9 16 25
5 12 22 35

1 3 (2n 1) n

2


n(3n 2) 2
6 15 28 45
1 5 (4n 3) 2n2 n
17
n(n 1) 1 2 n 2
t ，使得 a 和 d ，这里 a ， mt d nt
都是
t
的整数倍，
， 是整数. m n
a
d
t
a mt
d nt
28
由 d 2 2a 2 得 n2t 2 2m2t 2 ，从而，又可以类
似于上一个证明导出矛盾。
所以，不可能存在长度为 且
t 的线段，使得 a mt
d nt 。
(约前570年—前500年）
毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家、 数学家、天文学家。
5
毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年)
6
毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织， 也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和 理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德 的思想产生很大影响。
7
相传“哲学”（希腊原词 意为 “智力爱好”）和“数学”（希腊原 词 意为“可学到的知识”） 这两个词是毕达哥拉斯本人所创。
如果不然，有两个正整数 m 和
n
（不妨设
n2 平方得 2 2 ，即 m
n m
是既约分数即 (m, n) 1）。两端
。 2m2 n 2
n 使 c m
由此知
n 是偶数。由于偶数的平方是偶
2
数，奇数的平方是奇数，∴
n 是偶数。
25
因 n “既约”， m 数。这样 n 2 2m 2
m
不能再是偶数，于是 m 的左端，因 m
42
四、反证法与无理数
1. 反证法
1）反证法的威力
43
例：有数学书、物理书、外语书共十本。
证明：在这三种书籍中，有一种书籍
至少有四本。 穷举法： 数学书 10 9 9 8 8 8 7 7 7 7 „ 物理书 外语书 反证法：
44
0 „
0 0
0 0 1 0 1 2 0 1 2 3„
0 „ 10
0 1 0 2 1 0 3 2 1 0 „ 10 „
于是，a 与 d 就是不可公度线段。
（严重：“可公度”涉及“成比例”，进一步还涉及“相似
形”）
29
3）危机产生，封锁消息
希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。 一个正方形的对角线与其 一边的长度是不可公度的
希帕索斯 (Hippasus)
30
4）无理数
像 c2 2 这样的数 ，和其它一些不能表成整 c
2
一、什么是数学危机
危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学 上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的。 人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经
历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就
行不通； 引进分数使乘法有了逆运算——除法。
接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用
有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学
即“直角三角形两条直角边的平方和等 于斜边的平方”。在中国叫商高定理或勾股 定理。
10
《周髀算经》中的 “勾股定理”
（约公元前700年）
《周髀算经》卷上记载西周开国时期 周公与大夫商高讨论勾股测量的对 话，商高答周公问时提到“勾广三 股修四 经隅五”，这是勾股定理 的特例。
卷上另一处叙述周公后人荣方与陈 子（约公元前6、7世纪）的对话 中，则包含了勾股定理的一般形式 ：“……以日下为勾，日高为股， 勾股各自乘，并而开方除之，得邪 至日。”
、“针插不进，水泼不进”。 连续性是一个很好的性质。但是对“数系的连续 性”的概念，给出严格的数学定义，就那么容易了 。
40
数系扩张为实数系以后，第一次数学危机就
彻底解决了。
因为数的范围扩充以后，“万物皆数”的命
题就是正确的了；不能表成整数比的数，即 无理数，也是实数系中的数了。
41
[思]：能说“任何两个有理数之间都有 无理数”吗？为什么？
11
中国数学史上最先完成勾股定理证明：
公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注《周髀
算经》，作“勾股圆方图”，其中的弦图，
相当于运用面积的“出入相补”方法（刘
徽），证明了勾股定理。如图
12
13
西方文献中称此定理为毕达哥拉斯 定理。 曾经有人编书，收集了勾股定理的370
种证法。
14
3. 毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说
1）“万物皆数”学说
①数，是世界的法则
毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整
数，同时还包含它们的比，即正分数 ②任意两条线段 a、d 都是可公度的 “可公度的”，意即有公共的度量单位 t 。
a
d
t
n m
。
a mt
d nt
15
2）实例
① 形数 三边形数、四边形数、五边形数、 六边形数；
16
3 第一次数学危机
1
历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的
挫折叫做危机。危机意味着挑战，危机的解决就意
味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。
数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危
机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰
恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，
大大推动了数学科学的发展。
如果正确地把两个整数之比叫做“比数”， 那么像 一类的数称为“非比数”，还是颇 2 有道理的。
33
2. “两个量的比相等”的新定义
——部分地消除了危机
34
a c 两个量的比相等，即 。 b d
约公元前370年，希腊数学家欧多克索斯和阿契
塔的定义：“称四个量的第一个和第二个之比与第
三个和第四个之比相等，如果取第一个和第三个量
37
2）数轴
① 古代观点：数轴↔有理数
② 现代观点：数轴↔实数
0
1
2
38
3）数系的扩张——危机的解决
① 自然数系 ② 有理数系 ③ 实数系
39
实数系具有连续性。有理数系具有稠密性,却不具
有连续性。
数系的连续性和稠密性是两个不同的概念。
数系的稠密性，通俗说成“到处都有”、“密密
麻麻”；数系的连续性，通俗说成“一个挨一个”
“比数”的名称才正确反应了这类数是两个整数
之比的内涵。人类在认识有理数之前，唯一知道
的是自然数。那时所谓的“数”，都是自然数。
n 把由自然数产生的数 叫做比数，其实才符合古人
的原意。
m
32
在东方，最早把rational number 翻译过来的 是日本人。可能是那个日本人英文不好，数 学又不太懂，把它翻译成“有理数”。而日 本文字又和汉字形似，于是中国人把这三个 字照搬过来，沿用至今，形成习惯。
数比的数，称为无理数。 那样的一 2 类数叫做无理数，即没有道理的数，原来是翻 译出了问题。 称两个整数之比为有理数，而把
31
rational number 是有理数的英文名称，而rational是
一个多义词，含有“比的”，“有理的”意思。
而词根ratio来自希腊文，完全是“比”的意思。对
“rational number”正确的翻译应该是“比数”。
8
2. 毕达哥拉斯学派在数学上的贡献 1）数学证明的起始
泰勒斯毕达哥拉斯欧几里得 证明是要有假设的: 公设、公理及定义。 许多人推测，欧几里得几何《原本》前两 卷的大部分材料，来源于毕达哥拉斯学派。
9
2）数学抽象的提出
从实物的数与形，抽象到数学上的数与 形，本身就把数学推向了科学。