图形与几何整理与复习整理教师：刘新民一、基础知识回顾（一）观察物体。
1. 摆物体：根据从一个角度看到的物体形状，可以摆出不同的立体图形。
2. 确定立体图形：根据从三个不同方向看到的形状还原立体图形，首先从一个方向看到的形状分析，推测可能出现的各种情况；再结合从其它两个方向看到的形状综合分析；最后确定立体图形。
具体地说，从正面和侧面可以确定这个立体图形上下有几层，只要效果相同，但上一层的位置可以不同；从上面看，可以确定这个立体图形前后有几行，每行有几个，只要效果相同，上一层的个数不一定相同。
（二）长方体和正方体1. 长方体和正方体的认识。
（1）长方体的特征：有6个面，相对的面完全相同；相对的棱的长度相等；有8个顶点。
（2）长方体的长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
它的12条棱，被分成长、宽、高3组，每组4条，其棱长总和=（长+宽+高）×4。
（3）正方体的特征：6个面完全相同，12条棱长度都相等，它的棱长总和=棱长×12，有8个顶点。
2. 正方体侧面展开图（1）正方体的平面展开图的形式。
形式一：上面有1个正方形，中间有4个正方形，下面有1个正方形，这样的展开图可以折叠成正方体。
如下图所示〔称作（1、4、1）形展开图〕形式二：上面有2个正方形，中间有3个正方形，下面有1个正方形，这样的展开图可以折叠成正方体。
如下图所示〔称为（2、3、1）形展开图〕形式三：上、中、下各有2个正方形，这样的展开图可以折叠成正方体。
如下图所示〔称为（2、2、2）形展开图〕形式四：仅有2行，每行有3个正方形，这样的展开图可以折叠成正方体。
如下图所示〔称为（3、3）形展开图〕（2）、正方体平面展开图的特点：①、当我们从正方体的某个顶点出发，最多只能观察到三个面，这三个面中必包括三组相对面中的各一个，且两个相对的面不能被同时看到。
②、平面展开图形中的每一个正方形至少有一边与其他正方形相连。
③、正方体的平面展开图中一个公共顶点处最多只能出现三个正方形，与一个正方形相邻的正方形最多只能有四个。
④、正方体中原来处于相对位置上的两个面，展开后的正方形无公共顶点和公共边；反之，有公共顶点或公共边的两个正方形折叠成正方体后，必成为相邻面，不可能成为相对面。
注意：凡是出现“田”字形、“凹”字形、五连长链和六连长链均不是正方体的平面展开图。
（3）、巧记正方体展开图的儿歌。
中间4个一连串，两边各一随便放，二三紧连错一个，三一相连一随便。
两两相连各错一，三个两排一对齐。
要找两个相对面，切记相隔一个面。
3. 长方体和正方体的表面积和侧面积。
（1）长方体、正方体表面积和侧面积的意义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积；长方体、正方体4个侧面的面积叫做它的侧面积。
（2）长方体表面积和侧面积的计算方法。
①长方体表面积的计算方法：方法一：长方体的表面积=（长×宽+宽×高+长×高）×2，用字母表示为S=（ab+bh+ah）×2。
方法二：长方体的表面积=长×宽×2+宽×高×2+长×高×2，用字母表示为S=2ab+2bh+2ah。
②长方体侧面积的计算方法：方法一：长方体侧面积=（长×高+宽×高）×2，用字母表示为S=（ah+bh）×2。
方法二：长方体侧面积=长×高×2+宽×高×2，用字母表示为S=2ah+2bh。
方法三：长方体侧面积=底面周长×高，用字母表示为S=Ch。
（3）正方体的表面积和侧面积的计算方法：①正方体的表面积=棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²。
②正方体的侧面积=棱长×棱长×4，用字母表示为S=4a²。
4. 长方体和正方体的体积。
（1）体积的意义：物体所占空间的大小叫做物体的体积。
（2）体积单位：常用的体积单位有立方米、立方分米和立方厘米，用字母表示为m³、dm³、㎝³。
（3）长方体的体积公式：长方体的体积=长×宽×高，用字母表示为V=abh。
（4）正方体的体积公式：正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示为V= a³。
（5）长方体、正方体体积的统一公式：长方体（或正方体）的体积=底面积×高。
用字母表示为V=Sh。
（6）体积单位间的进率：1m³=1000dm³,1 dm³=㎝³。
（7）容积的意义：容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。
（8）容积单位：升和毫升，用字母表示为L和mL。
（9）容积单位间的进率：1L=1000mL。
（10）容积单位和体积单位间的换算：1L=1dm³,1mL=1000㎝³。
（11）容积的计算方法：长方体、正方体等规则容器的容积的计算方法和体积的计算方法相同，但要从容器的里面量长、宽、高。
（三）图形的运动1. 旋转。
（1）旋转的意义：物体绕某一点或轴运动，这种运动现象叫做旋转。
（2）图形旋转的性质：图形旋转，对应点、对应线段都旋转相同的角度，对应点到旋转点的距离相等，对应角相等。
（3）图形旋转的特征：图形旋转后，形状、大小都没有变化，只是位置发生了变化。
2. 解决问题。
利用旋转和平移可以进行图形拼组。
二、例题讲解例1、用小正方体摆出从正面看是的立体图形。
分析与解答：（1）从正面看是，说明这个立体图形有上下两层，左边层，右边两层，即（2，说明这个立体图形有上下两层，前面一层，后面两层，即（3）从上面看是，说明第一层有4个小正方体，即合上述，这个立体图形是例2、以A 为旋转中心把图形逆时针旋转90°。
分析与解答：根据旋转的性质，这个图形绕A 逆时针旋转90°，那么它的对应点也旋转90°，则点D 绕A 旋转90°后得到D ′，线段AD 和AD ′的长度不变，即AD ′也是4格，以AD ′为准顺次作出“日”字的对角线分别找出B 、C 的对应点B ′、C ′，顺次连接AB ′D ′C ′A ，则图形AB ′D ′C ′就是绕A 旋转90°的图形(如上图)。
例3、一个长方体的底面周长是28㎝，高是4㎝。
这个长方体的棱长总和是多少？分析与解答：因为长方体的12条棱分成了长、宽、高3组，每组4条，根据“ 长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4”可知只要求出长、宽的和，由于长方体的底面周长是28㎝，所以长+宽=28÷2=14（㎝），那么这个长方体的棱长总和是（14+5）×4=76（㎝）。
例4、现在有几种规格的长方形、正方形铁皮。
从中选择6张铁皮，焊接一个长方体和一个正方体油箱，应选择哪种规格的铁皮？分析与解答：因为长方体的6个面一般是长方形，相对两个面完全一样，所以可以选①号铁皮2张，焊接成该长方体的上、下两个面，选②号铁皮2张，焊接成6dm8dm4dm6dmdm6dm6dm该长方体的左、右两个面，选③号铁皮2张，作该长方体的前、后两个面；因为正方体的6个面都是完全一样的正方形，所以选④号铁皮6张就可以焊接成一个正方体。
例5、工人师傅挖了一个长30m ，宽25m ，深2m 的游泳池。
这个游泳池的占地面积是多少平方米？如果给这个游泳池的底面和四周抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？分析与解答：游泳池的占地面积就是游泳池的底面积，它的底面是一个长方形，则它的面积是长×宽，即30×25=750（平方米）；抹水泥的面积就是求这个游泳池的侧面积与底面积的和，侧面积=底面周长×高（深），则四周抹水泥的面积为（30+25）×2×2=220（平方米），所以抹水泥的面积为220+750=970（平方米）。
例6、用一张长40㎝，宽20㎝的长方形铁皮制作一个高5㎝的无盖小铁盒。
画一画，可以怎样制作？做成的长方体小铁盒的容积是多少？（铁皮的厚度不计） 分析与解答：方法一：在长方形的铁皮四角上剪去一个边长为5㎝的正方形，如下图。
要求这个长方体的容积关键求出它的长、宽、高，从图上可以看出它的长=40-5×2=30（㎝），宽=20-5×2=10（㎝），高为5㎝，那么它的容积是30×10×5=1500（㎝³）。
方法二：从长方形铁皮的左边剪去两个边长为5㎝的正方形，再将这两个正方形焊接在右边，如下图。
555510从上图中可以看出，这个长方体铁盒的长为40-5=35（㎝），宽为20-5×2=10（㎝），高为5㎝，那么这个长方体小铁盒的体积为35×10×5=1750（㎝³）。
方法三：因为长方体体积=底面积×高，当高一定时，底面积越大，长方体的体积就越大，由于这块长方形铁皮的长40㎝，宽20㎝，底面边长为20㎝时，底面积最大，故先把这块铁皮截取一个边长为20㎝的正方形，再把剩下的平均分成4份焊接在正方形的四周，如下图。
从图中可以看出，这个小长方体铁盒的长为20㎝，宽也为20㎝，高为5㎝，故该小长方体铁盒的容积为20×20×5=2000（㎝³） 三、考点练习 1. 填空。
（1）物体旋转时应抓住三点：（ ）、（ ）、（ ）。
（2）图形在旋转前后，它的（ ）和（ ）不变。
（3）3.5m L=（ ）㎝³ 450dm ³=（ ）m ³ 2500㎝²=（ ）dm ² 6.7m ³=（ ）L（4）正方体的棱长扩大到原来的5倍，它的一个面的面积扩大到原来的（ ）倍，它的表面积扩大到原来的（ ）倍，它的体积扩大到原来的（ ）倍。
（5）长方体的长是5m ，宽是4m ，它的体积是60m ³.它的高是（ ）。
（6）把一个长9dm ，宽7dm ，高4dm 的长方体木块削成尽可能大的正方体，这个正方体木块的体积是（ ）。
（7）把一个长方体铁块熔铸成一个正方体铁块，它的（ ）不变；将它切割成两个长方体，（ ）不变，（ ）增加了。
（8）一个长方体的底面积是30㎝²，它的高是6㎝，它的体积是（ ）㎝³。
（9）若一个水池正好装56m ³的水，则56m ³既是水池的（ ）。
也是池中水的（ ）。
㎝㎝ ㎝ ㎝（10）用8个棱长为2㎝的小正方体拼成一个稍大的正方体，拼成的正方体的体积是（ ），表面积是（ ）。
2. 判断。