作业 P 145--- 26、29、31
92
cov( X ,Y ) X E ( X ) Y E (Y ) ρ ρXY E[ ] cov( X ,Y ) D( X ) D(Y ) D( X ) D(Y )
cov( X , Y ) D( X ) D(Y )
无量纲 的量
例1 已知 X ,Y 的联合分布为 pij 1 X Y 1 0 求 cov (X ,Y ), XY X 解 P 1 0 Y P p 0
原点矩与中心距
3、k + l 阶混合 v E ( X k Y l ) (k,l = 1, 2, 3,….) kl 原点矩 k E[( X E ( X ))k (Y E (Y ))l ] 4、k + l 阶混合 中心矩 (k,l = 1, 2, 3,….) 数 E [ X E ( X )][Y E (Y )] 反映了随机变量 X , Y 之间的 某种关系
§ 4.3 协方差和相关系数 定义 称E [ X E ( X )][Y E (Y )] 为 X ,Y 的协方差. 记为 XY cov( X , Y ) E [ X E ( X )][Y E (Y )] 特别地，当X=Y时，有
若 ( X ,Y ) 为离散型， 若 ( X ,Y ) 为连续型，
1 2
u2 2 (1 2 )
du t e
12 2 t 2
dt
XY
若 ( X ,Y ) ~ N ( 1, 12, 2, 22, ), 则X ,Y 相互独立 X ,Y 不相关
90
xik pi 当X 为离散型 1、k 阶原点矩 vk E ( X k ) i x k f ( x)dx 当X 为连续型 (k = 1, 2, 3,….) ( xi E ( X ))k pi 当X 为离散型 2、k 阶中心距 k E ( X E ( X ))k i ( x E ( X ))k p ( x )dx 当X 为连续型 (k = 1, 2, 3,….)
相关系数的定义 若D (X ) > 0, D (Y ) > 0 ,称 ( X E ( X ))(Y E (Y ) cov( X , Y ) E D ( X ) D (Y ) D ( X ) D (Y ) 为X ,Y 的 相关系数，记为 XY 事实上， 相关系数的性质 性质2 | XY | 1
性质1 | XY | 1 P(Y = aX+b ) = 1 其中a≠0,b均为常数 即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这 种线性关系为 PY X 1 若 ρ 0, 称 X ,Y 不相关. 否则为相关 ρ>0为正相关，ρ<0为负相关 ρ=±1时为完全相关 性质3 若X与Y相互独立，则X与Y不相关。即 ρ = 0
XX cov( X , X ) E [ X E ( X )] D( X ) 协方差的计算 cov( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
2
i 1 j 1

cov( X , Y ) [ xi E ( X )][ y j E (Y )]pij
88
例2 设 ( X ,Y ) ~ N ( 1,12;2,22 ; ), 求XY 解 cov( X , Y ) ( x 1 )( y 2 ) f ( x, y )dxdy
x 1 1 y 2 2

s
t 2 1 2
0
0 qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 < p <1 p+q=1
1 0 p q
XY P
1 p
0 q
p q
E ( X ) p, E (Y ) p,
D( X ) pq, D (Y ) pq ,
E ( XY ) p,
cov( X , Y ) E( XY ) E( X ) E(Y ) pq
ρ ρXY cov( X , Y) D( X ) D(Y ) pq 1 pq pq
1 2




ste
1 1 ( s t )2 t 2 2 2 (1 2 )
dsdt
令 s t u

1 2
2
2 1



t ( t u )e
1 2 t 2 2 (1 ) 2
u2
dudt
89
1 2 e 2 2 1

cov( X , Y )

[ x E ( X )][ y E (Y )] f ( x, y )dxdy
协方 性质1 差的 性质2 性质 性质3
cov( X , Y ) cov(Y , X ) cov(aX , bY ) ab cov( X , Y )
cov( X1 X 2 , Y ) cov( X1 , Y ) cov( X 2 , Y )