新初三数学尖子生学案 Day20（主讲人：刘蒋巍)
教学内容 新初三数学尖子生学案 Day20：根与系数的关系，圆的基本性质（涉及相似）
教学目标 理解根与系数的关系；理解相似三角形；理解圆周角定理
教学重点 理解根与系数的关系；理解相似三角形；
教学难点 理解相似三角形；理解圆周角定理
教学准备 教材，考纲
教学过程
根与系数的关系
【例题求解】
【例 1】 已知 、 是方程 x 2 x 1 0 的两个实数根，则代数式 2 ( 2 2) 的值为
。
思路点拨：所求代数式为 、 的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化
【例 2】如果 a 、 b 都是质数，且 a 2 13a m 0 ， b 2 13b m 0 ，那么 b a 的值为( ) ab
。
2、已知 、 是方程的两个实数根，则代数式 3 2 2 2 的值为
。
3、CD 是 Rt△ABC 斜边上的高线，AD、BD 是方程 x 2 6x 4 0 的两根，则△ABC 的面积是
。
4、设 x1 、 x2 是关于 x 的方程 x 2 px q 0 的两根， x1 +1、 x2 +1 是关于 x 的方程 x 2 qx p 0 的两根，则 p 、 q 的值分别等于( ) A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3
注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0 这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。
【例 5】 已知：四边形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB、CD 的长是关于 x 的方程 x 2 2mx (m 1 ) 2 7 0 的两个 24
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拓展训练
1、(1)已知
x1
和
x2
为一元二次方程
2x2
2x
3m
1
0
的两个实根，并
x1
和
x2
满足不等式
x1
x1 x2 x2
4
1 ，则实
数 m 取值范围是
。
(2)已知关于 x 的一元二次方程 8x 2 (m 1)x m 7 0 有两个负数根，那么实数 m 的取值范围是
1)
的值是(
)
A．1
B．-l
C． 1 D． 1
2
2
7、若关于 x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式： x1 (x1 1) x2 (x2 1) (x1 1)(x2 1) ，判断 (a b) 2 4 是 否正确?
8、已知关于 x 的方程 x 2 (2k 3)x k 2 1 0 。 (1) 当 k 是为何值时，此方程有实数根； (2)若此方程的两个实数根 x1 、 x2 满足： x2 x1 3 ，求 k 的值。
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【例 3】 已知关于 x 的方程： x 2 (m 2)x m 2 0 4
(1)求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 (2)若这个方程的两个实根 x1 、 x2 满足 x2 x1 2 ，求 m 的值及相应的 x1 、 x2 。
5、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，a、b 是关于 x
的方程 x 2 7x c 7 0 的两根，那么 AB 边上的中线长是(
)
A． 3 2
B． 5 2
C．5
D．2
6、方程
x2
px
1997
0
恰有两个正整数根
x1
、
x2
，则
( x1
p 1)( x 2
A、 123 22
B、 125 或 2 22
C、 125 D、 123 或 2
22
22
思路点拨：可将两个等式相减，得到 a 、 b 的关系，由于两个等式结构相同，可视 a 、b 为方程 x 2 13x m 0 的 两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。 注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于 x1 、 x2 的对称式，这类问题可通过变形用 x1 + x2 、 x1 x2 表示求解， 而非对称式的求值常用到以下技巧： (1) 恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
根。 (1)当 m＝2 和 m>2 时，四边形 ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由。 (2)若 M、N 分别是 AD、BC 的中点，线段 MN 分别交 AC、BD 于点 P，Q，PQ＝1，且 AB<CD，求 AB、CD 的 长． 思路点拨：对于(2)，易建立含 AC、BD 及 m 的关系式，要求出 m 值，还需运用与中点相关知识找寻 CD、AB 的另一隐含关系式。 注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数” (方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．
思路点拨：对于(2)，先判定 x1 、 x2 的符号特征，并从分类讨论入手。
【例 4】 设 x1 、 x2 是方程 2x 2 4mx 2m 2 3m 2 0 的两个实数根，当 m 为何值时， x12 x2 2 有最小值?并求出 这个最小值。 思路点拨：利用根与系数关系把待求式用 m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△ ≥0)进行的。
。
12、两个质数 a 、 b 恰好是整系数方程的两个根，则 b a 的值是( ) ab
A．9413
B． 9413 194
C． 9413 99
D． 9413 97
13、设方程有一个正根 x1 ，一个负根 x2 ，则以 x1 、 x2 为根的一元二次方程为( )
A． x 2 3x m 2 0
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9、已知方程 x 2 px q 0 的两根均为正整数，且 p q 28 ，x 1 0 的两个根，则 4 3 的值为
。
11、△ABC 的一边长为 5，另两边长恰为方程 2x 2 12x m 0 的两根，则 m 的取值范围是