导数中的不等式证明【考点点睛】放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。

不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。

数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。

即使如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！ 放缩法的合理使用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。

命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.命题角度5 函数凹凸性的应用【考法点拨】不等式恒成立问题中，很多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，进而应用曲线的凸凹性可获得思路自然、过程简洁的图解.【知识拓展】一般地，对于函数)(x f 的定义域内某个区间D 上的不同的任意两个自变量的值21,x x ，①总有1212()()()22x x f x f x f ++≥（当且仅当12x x =时，取等号），则函数)(x f 在D 上是凸函数，其几何意义：函数)(x f 的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方.()0f x ''<，则()f x '单调递减，)(x f 在D 上为凸函数；②总有1212()()()22x x f x f x f ++≤（当且仅当12x x =时，取等号），则函数)(x f 在D 上是凹函数，其几何意义：函数)(x f 的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的下方.()0f x ''>，则()f x '单调递增，)(x f 在D 上为凹函数.【典例11】（安徽省太和中学2019届5月质检）已知函数()()1ln f x x x =+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y ax b =+．（1）求证：1x >时，()f x ax b >+；（2）求证：()()2*2ln 2ln 2ln 723...2,1632n n n n n -++++>≥∈-N ． 【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()1ln x f x x x+'=+， 又()12f '=，()10f =，所以该切线方程为()21y x =-．……﹝因为()210x f x x -''=>，所以()f x 为凹函数，必有()()1ln 21x x x +>-﹞ 设()()()1ln 221F x x x x x =+-+>，则()1ln 1F x x x'=+-，令()()g x F x '=，则()22111x g x x x x-'=-=，当1x >时，()0g x '>，所以()()g x F x '=在()1,+∞上单调递增，又()10g =，所以()()0g x F x '=>，即()F x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10F x F >=，故1x >时，()f x ax b >+；（2）由（1）知：当1x >时，()()1ln 21x x x +>-. ……﹝利用切线法放缩的途径﹞令()2212,x n n n N =->≥∈，则()()()2221ln 223n n n -->-， 所以()()()222ln 22211311111n n n n n n n ->==----+-+， 所以()222ln 2111111111111 (3)3243546211nk k k n n n n =-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑， 化简可得()222ln 21113213212nk k k n n n=->+-->--+∑，得证.【方法归纳】本题()()()1ln 1f x x x x =+>，其()1ln x f x x x +'=+，()210x f x x-''=>，说明函数()()()1ln 1f x x x x =+>为凹函数，所以有()()1ln 21x x x +>-.此类问题实质上，第（1）小题的研究正是为第（2）小题的解决而服务的，表现“层层递进”的特点.【典例12】（成都市2019届高中毕业班二诊文科）已知函数()ln 1,f x x x ax a R =++∈. （1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当()1,x ∈+∞时，证明：()21ln xe x x x x e-<<-. 【解析】（1）由()0f x ≥，得1ln a x x-≤+恒成立， 令()1ln u x x x =+，则()22111x u x x x x-'=-=，所以()u x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()u x 的最小值为()()min 11u x u ==，所以1a -≤，即1a ≥-，故a 的取值范围是[)1,-+∞； （2）有（1）知1a =-时，有ln 1x x x ≥-，……﹝直线1y x =-是函数ln y x x =的切线，因为10y x''=>，则ln 1x x x ≥-﹞ 所以1ln x x x-≥. ……﹝向待证式的结构靠拢寻求放缩的途径﹞ ①要证()1ln x e x x e -<，可证()()111xe x x x e x--<>，只需证1x e x -≥， ………﹝1x e x ≥+也是应用函数的凸凹性实行切线放缩的重要途径﹞易证1x e x ≥+（证明略），所以1x ex -≥；②要证2ln x x x <-，可证ln 1x x <-， ……﹝ln 1x x <-往往是含有ln x 的不等式放缩的途径﹞易证ln 1x x ≤-（证明略），因为1,10x x >->，所以()211x x x x x -<-=-，所以2ln x x x <-，综上所述，当()1,x ∈+∞时，证明：()21ln xe x x x x e-<<-. 【方法归纳】若第（1）小题是探求参数的范围问题，第（2）小题的解决往往使用第（1）小题所求范围的界点对于的不等关系实行放缩，此类问题实质就是应用函数凸凹性实行切线放缩法.【典例13】（咸阳市2019届三模）已知函数()ln f x x x =，()()22a x x g x -=.（1）若()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（2）求证：()()()22212111111n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++<⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L 【解析】（1）()()f x g x <等价于()2ln 02a x x x x --<，即()1ln 02a x x x -⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦， 记()()1ln 2a x h x x -=-，则()1222a axh x x x -'=-=，当0a ≤时，()0h x '>，()h x 在()1,+∞上单调递增，由()10h =，()()10h x h >=， 所以()0xh x >，即()()f x g x <不恒成立； 当02a <<时，221,1,x a a ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增，()()f x g x <不恒成立； 当2a ≥时，()1,x ∈+∞，()0h x '<，()h x 在()1,+∞上单调递减，()()10h x h <=，所以()0xh x <，即()()f x g x <恒成立；故()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，实数a 的取值范围是[)2,+∞；（2）当2a =时，()()f x g x <在()1,+∞上成立，即ln 1x x <-，………﹝ln 1x x <-也是应用函数的凸凹性实行切线放缩的重要途径﹞令()21,1,2,,1kx k n n =+=+L ，则()()22ln 111k kn n ⎡⎤+<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 所以()()()()2222112ln 1ln 1111111n k k n n n n n =⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑L ()()()()()()2222112121211121n n nn n n n n n +<+++==<+++++L ，所以()()()22212111111n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++<⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L 【方法归纳】当2a =时，ln y x =，因为1y x'=在()0,+∞上单调递减，所以ln y x =为凸函数，则切线在函数ln y x =的图象的上方，所以ln 1x x <-.。