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4.4 载荷、剪力和弯矩之间的关系 4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系
dFS(x) q(x) 若q(x)为常数，则可根据这些关系得到如下表格
dx
q(x)
FS (x)
M (x)
dM (x) dx

FS (x)
q0
FS 常数
FS 0 FS 0
FS 0
q0
q0
如图所示受任意载荷的直梁 建立坐标系
y
F1 F2
取其中一微段 dx q(x)为连续函数，规定向上为正
dx
x
q(x)
x
dx
FS M
M+dM
将该微段取出，加以受力分析
FS+dFS q
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4.4 载荷、剪力和弯矩之间的关系
4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系
dx
Fy 0
FS(x) M(x)
的形状特征和绘制内力图的叠加法。 构 计 构 面 架 定 力
熟练掌握弯矩图绘制，能迅速绘制弯 总 算 桁 内 梁 计
矩图。
论
架力内算
理解恰当选取脱离体和平衡方程计算
内图力
静定结构内力的方法与技巧。会根据
力图
几何组成寻找求解途径。
图
回顾和补充
材料力学内容回顾
杆件内力分析要点： • 内力正负号规定：
FN

FN

MM
FQ
FN

FN
FQ FQ
M

M
结构力学与材料力学内力规定的异同
• 轴力和剪力的正负号规定与材料力学相同 • 内力符号脚标有其特定的意义。如MAB表明
AB杆的A端弯矩 • 结构力学弯矩图画在受拉纤维一侧
4.3 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
【例4-2】
图示简支梁受均布载荷q作用， 求 (1)剪力方程和弯矩方程； (2)画剪力图和弯矩图。

qx dx
2
dx
dM (x) dx

FS (x)
注意 在集中力和集中力偶作用处微分关系不成立
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4.4 载荷、剪力和弯矩之间的关系 4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系
dFS (x) q(x) 剪力图上某点的斜率等于分布载荷的数值 dx
dM (x) dx FS (x)
弯矩图上某点的斜率等于剪力的数值
Q图 M图
内力图形状特征
无何载区段 均布荷载区段 集中力作用处 集中力偶作用处
平行轴线 斜直线
↓ ↓ ↓ ↓↓ ↓
＋ －
二次抛物线 凸向即q指向
发生突变
＋P －
出现尖点
尖点指向即P的指向
无变化 发生突变
m
两直线平行
备 Q=0区段M图 Q=0处，M 集中力作用截 集中力偶作用面
注 平行于轴线 达到极值
Fx
M
Fy
Q+ΔQ
N+ΔN
M+ΔM
ΔM=m
增量关系说明了内力图的突变特征
3） 积分关系
FNB FNA AB qx (x)dx
FQB FQA AB qy (x)dx
M B M A AB FQdx
由微分关系可得 右端剪力等于左端剪力减去该 段qy的合力； 右端弯矩等于左端弯矩加上该 段剪力图的面积。
面剪力无定义
弯矩无定义
等于在零自q，、由有零qQ端、集、、、中平QqM铰、力、、支偶M斜qQ座、、作、、Q用抛M铰、，结M截点面处弯，矩无等集于中集力中偶力作偶用的，值截。面弯矩
第3章 静定结构 §3-1 概述
按几何构造特点求解 几何构造形式简单的静定结构比较容易求解，如：
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• 荷载与内力之间的关系：
qy
Q ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ Q+dQ
1 ） 微分关系
N
qx
→→→→→
N+dN x
M
M+dM
dFN dx
qx
dx y
dFQ dx
qy
qy向下为正
dM dx FQ 微分关系给出了内力图的形状特征
2） 增量关系
ΔN=－FX ΔQ=－Fy
Q
N
m
• 内力的叠加与分解：
假设：材料满足线弹性、小变形。
例：求截面1、截面2的内力
5kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓
FN2=50－141×cos45o
=－50kN
1
FQ2= －141×sin45°＝－100kN 2
1 2
50kN
M2＝ 50×5 －125－141×0.707×5 ＝－375kN.m +
在剪力图无突变(无集中力作用)的某段梁上，有
FS x 2 FS x1
x2 qxd x
x1
q图的面积
在弯矩图无突变(无集中外力偶作用)的某段梁上，有
M x 2 M x1
F x2
x1 S
x
dx
Fs图的面积
上述积分关系有时可简化控制截面的内力计算。
ql 2 8
(3)画出剪力图和弯矩图
M
ql2/8
+
剪力图 斜直线 弯矩图二次抛物线
B FB
－
x
ql/2
x
5/54
q
A x
FA q
l M(x)
x
FA FS ql/2
+
FS(x)
M
ql2+/8
B FB
－
x
ql/2
x
• 求内力的基本方法：
截面法（截取隔离体；代之相应截面内力；利 用平衡方程求解）
截开、代替、平衡
结构力学
STRUCTURAL MECHANICS
第3章 静定结构的受力分析
Chapter 3 Statically Determinate Structure

基本要求
静三组静静多截
掌握结构的支座反力的计算，结构的 定 铰 合 定 定 跨 面
剪力和轴力计算的两种方法，内力图 结 拱 结 平 刚 静 内
M(x)+dM(x)
FSx qxdx FSx d FSx 0 (1)
C
MC 0
FS(x)+dFS(x)
M
x


dM
x


qx
dx
dx 2

FS
x
dx

M
x

0
(2)
q(x) 由（1）式可得:
dFS (x) q(x) dx
（2）式中略去高阶微量
A x
FA q
l
解 (1)求约束力
FA

FB

ql 2
(2)列剪力方程和弯矩方程
FSx FA qx
ql 2
qx
0 x l
x
FA FS ql/2
+
M(x) FS(x)
M x ql x q x2 0 x l
2
2
M max

M

l 2


45° 141kN
M2＝375kN.m （左拉）
FN1=141×0.707=100kN
5m
FQ1=50 +5×5－141×0.707
=－25kN
M1=125 +141×0.707×10－50×5－5/2×5²
=812.5kNm
(下拉）
125kN.m 5m
4.4 载荷、剪力和弯矩之间的关系 4.4.1 分布载荷、剪力和弯矩的微积分关系