信号的分析与系统特性一、设计题目写出下列方波信号的数学表达通式，求取其信号的幅频谱图（单边谱和双边谱）和相频谱图，若将此信号输入给特性为传递函数为)(s H 的系统，试讨论信号参数的取值，使得输出信号的失真小。
作业要求（1）要求学生利用第1章所学知识，求解信号的幅频谱和相频谱，并画图表示出来。
（2）分析其频率成分分布情况。
教师可以设定信号周期0T 及幅值A ，每个学生的取值不同，避免重复。
（3）利用第2章所学内容，画出表中所给出的系统)(s H 的伯德图，教师设定时间常数τ或阻尼比ζ和固有频率n ω的取值。
（4）对比2、3图分析将2所分析的信号作为输入)(t x ，输入给3所分析的系统)(s H ，求解其输出)(t y 的表达式，并且讨论信号的失真情况（幅值失真与相位失真）若想减小失真，应如何调整系统)(s H 的参数。
二、求解信号的幅频谱和相频谱w (t )=w (t +nT 0)={A 0<t <T 02−A T 02<t <T 0002200-200211=(t)=+-=0TT T T T a w dt Adt Adt T T ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰00220000-200222()cos()cos()-cos()0TT T T T n a w t nw t dt A nw t dt A nw t dt T T ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰00220000-20020000000022()sin()sin()-sin()4 2 cos()-cos()200 2TTT T T n b w t nw t dt A nw t dt A nw t dt T T A T T n A A nw t nw t nT T nw nw n π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎧⎪⎪==⎨ ⎪ ⎪⎪⎩⎝⎭⎰⎰⎰为奇数为偶数式中ω0=2π/T 0000411(t)=(sin(w t)+sin(3w t)+sin(5w t)+)35A w π…转换为复指数展开式的傅里叶级数：()()000000000002-j 000-200000011=(t)e=e +-e 1121 =(e -e ) =e -e | =e -e = 2T jnw tnw t jnw tn T jnw t jnw t jnw t jnw t jnw jnw c w dt A dt A dt T T A A AA dt j T T jnw T nw j n ττττττπ-----⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰当0,2,4,...n =±±时，0n C =； 当1,3,5,...n =±±±时，2n A C j n π=-则幅频函数为：2,1,3,5,...n AC jn n π=-=±±±42||,1,3,5,...n n AA C n n π===相频函数为：arctanarctan(),1,3,5, (2)nI n nR C n C πϕ==-∞=-= arctanarctan(),1,3,5, (2)nI n nR C n C πϕ==+∞==---双边幅频图：单边幅频图：相频图：三、频率成分分布情况由信号的傅里叶级数形式及其频谱图可以看出，矩形波是由一系列正弦波叠加而成，正弦波的频率由0w 到30w ，50w ……，其幅值由4A π到43A π，45Aπ，……依次减小，各频率成分的相位都为0。
四、H(s)伯德图一阶系统1()1H ssτ=+，对应=0.1, 0.5, 0.707τ二阶系统2240()2nn nH ss sωξωω=++，对应10,500nω=，=0.5, 0.707τ五、将此信号输入给特征为传递函数为H(s)的系统（1）一阶系统响应方波信号的傅里叶级数展开为：14()sinnAx t n tnωπ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑据线性系统的叠加原理，系统对()x t的响应应该是各频率成分响应的叠加，即[]000014()()sin()sin(),1,3,5,...tznAy t A n n t n e n nnωωϕωϕωπ∞-=⎛⎫⎧⎫=+-=⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎝⎭∑其中0()A n ω=00()arctan()n n ϕωτω=-故，[]001()sin arctan(),1,3,5,...t z n y t n t n e n ωτω∞-=⎛⎫⎧⎫⎪=--=⎪⎭∑各个频率成分幅值失真为：01()1A n ω-=相位失真为：00()arctan()n n ϕωτω=-由此可看出，若想减小失真，应减小一阶系统的时间常数τ一阶系统响应 Simulink 仿真图（2）二阶系统响应同一阶系统响应，系统对(t)x 的响应应该是各频率成分响应的叠加，即[]000314()()sin ()sin(),1,3,5,...n td n d A y t A n n t ne t n n ξωωωωϕωωϕπω∞-=⎛⎫⎧⎫=+-+= ⎪⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭∑其中0()A n ω=00202()arctan()1n n n n n ωξωϕωωω⎛⎫⎪⎝⎭=-⎛⎫- ⎪⎝⎭d ωω=32012n n ϕωξω==⎛⎫-- ⎪⎝⎭各个频率成分幅值失真为：()011A n ω-=-相位失真为： 00202()arctan()1n n n n n ωξωϕωωω⎛⎫⎪⎝⎭=-⎛⎫- ⎪⎝⎭由此可看出，若想减小失真，阻尼比ξ宜选在0.65~0.7之间，频率成分中不可忽视的高频成分的频率应小于（0.6~0.8）n ω，及n ω应取较大值。
二阶系统响应 Simulink 仿真图传感器综合运用一、题目要求工件如图所示，要求测量出工件的刚度值，在力F的作用下球头部将向下变形，力的大小不应超过500N，球头位移量约200微米。
刚度测量结果要满足1%的精度要求。
图1 工件图任务要求如下：（1）根据被测物理量选用适合的传感器系列；例如尺寸量测量传感器，电阻应变式传感器，电感式传感器，电容传感器，磁电传感器、CCD图像传感器等等。
（2）分析所给任务的测量精度，并根据精度指标初选适合该精度的传感器系列；测量精度一般根据被测量的公差带利用的是误差不等式来确定，例如公差带达到10um时测量精度一般应达到公差带的1/5，即小于2um。
满足此精度的传感器有电阻应变式传感器，电感式传感器等，但考虑精度的同时还要考虑量程等其它方面的因素，参考第3章传感器的选用原则一节。
（3）选择合理的测量方法。
根据被测量的特点及题目要求，综合考虑测量方便，适合于批量测量的特点，确定合理的测量方案，并画出测量方案简图，可以配必要的文字说明。
二、方案设计因需要测量工件的刚度，由工件的刚度公式：FKy式中K为工件的刚度；F为施加在工件上的作用力；y为在力F作用下的位移；根据上式，测定刚度的方式有两种，一种是在恒力的作用下测定工件头部的变形量；一种是在一定变形量的作用下测定力的大小。
考虑到后种方法，需要控制工件的位移量一定是比较困难的，因为按照后种方法仍需采用位移传感器去检测工件的位移的量，因而无论从测试方法还是从测试成本上都是不合理的。
因而采用前种方法，给工件施加一定大小的力是比较容易做到的，只需要测定该力的作用下位移的大小即可求出工件的刚度。
为了给工件施力，必须对工件定位和夹紧。
设计了如图2所示的末端支撑部件。
图2支撑零件为了对工件进行定位，考虑到工件的对称性，设计了如图3所示的定位元件，可以确保工件的伸出的长度为一定值。
图3 定位零件因内孔带锥度，当左右两块该零件配合时，可以确保工件从支撑部件伸出一定长度，从而准确测量，其定位及支撑原理如图4所示。
图4 定位及支撑根据题目中第（3）条要求，适合批量测量。
待测工件放在V型槽中，左右两块锥形孔对合，通过推杆机构推到支撑孔中，直到工件与锥形孔配合，这样就能够保证工件伸出的长度是一定的，只有这样测定的刚度才是准确的。
同时通过图2所示的支撑零件，能够保证工件的尾部固定，消除了工件尾部的移动对工件头部的位移的影响。
测量时，左右两块定位元件分开，避免对工件的测量造成影响。
三、传感器的选择按照题目要求（2），传感器的选择应该能够满足精度的要求。
因实际测量的为位移，精度要求为刚度的要求，因而需要进行转换。
2FK y y ∆=-∆相对精度误差为2()/(/)K F yy F y K y y∆∆=-∆=- 刚度相对误差为1%，根据上式，测量位移的相对误差要控制在1%，因位移约为200um ，因而位移传感器的误差要控制在2um 内。
因位移约为200um ，为使测量值约为满量程的2/3，因而选择传感器的满量程为300um 。
综上分析，传感器的满量程为300um ，传感器的相对误差控制在1%，传感器的分辨率应低于2um 。
因工件上不好安装传感器，因而应该根据测量头的纵向位移来判断工件头部的变形量。
因而当从刚开始接触工件开始，到加载到450N （小于500N ）结束，此过程中测量头的位移。
根据参考文献[1]P81介绍，可选择电涡流位移传感器，其测量范围0-15mm ，分辨率达1um ，因而满足上述的精度要求。
综上分析，采用电涡流位移传感器。
四、总体测量方案图5 总体方案如图5所示，在圆柱形测量头上施加一定的恒力450N ，通过电涡流位移传感器测量测量头的位移，为减小本身的测量头的伸缩的影响，测量头的刚度必须很大。
定位元件用来控制工件伸出的长度一定。
支撑元件用来固定工件的尾部。
待测元件放置在V 型槽里，用于大批量的检测。
五、 参考文献[1]. 邵东向，李良主编. 机械工程测试技术基础. 哈尔滨工业大学出版社，2003定位支撑待测测量。