特征函数（Characteristic Function ）的性质 1．;1)0(|)(|=≤ϕϕt).0(11|||||)(|ϕϕ==≤≤=E e E Ee t itX itX2. )()(t t ϕϕ=-.)()(t Ee e E Ee t itX itX itX ϕϕ====--.3. 若Y=aX+b, 其中a 和b 为常数，则).()(at e t X ibtYϕϕ= 4． 若X 的l 阶矩存在，则.1,|)(0l k EX i t dtd kk t k k ≤≤==ϕkk t itX k k t itX k k t k k EX i e X E i Ee dtd t dt d ======000|)(||)(ϕ. 注意求导和期望可交换的条件. 可利用特征函数求随机变量的各阶矩. 5. 特征函数具有一致连续性. ⎰><>∃>∀Mx dx x p t s M ||)(..,0,0εε⎰∞∞=-=-+|)()1(||)()(|x dF e e t h t itx ihx ϕϕ ⎰∞∞--≤)(|1|x dF e ihx⎰⎰->-+-=MMMx i h xi h xx dF ex dF e||)(|1|)(|1||||2sin |2)(||1|2/2/2/hx hxeee e ihx ihx ihx ihx≤=-=--x hxeeeeihx ihx ihx ihx ∀≤=-=--,2|2sin |2)(||1|2/2/2/⎰⎰>-+≤-+Mx MMx dF x dF x h t h t ||)(2)(|||)()(|ϕϕ⎰-+≤+≤MMhM x dF hM εε22)(.取,/M εδ=则 对任意实数t ，和),0(δ∈h 有.3|)()(|εϕϕ≤-+t h t所以，特征函数是一致连续的. 引理：狄利克雷积分).(21210021)sin(1)(0a sign a a a dt t at a I =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>==⎰∞+π 证明：⎰∞=sin )(1)(dt tta sign a I π以下证明⎰+∞=02sin πdu u u .⎰+∞-=01ds e u us ⎰⎰⎰⎰⎰-+∞+∞-==Tus TT usududse ds e u du uu 00000sin sin sin ⎰∞+-++-+=0222)cos sin 11(ds e Ts T T T s s s⎰+∞-++-=22cos sin 2ds e Ts T T T s sπs s T e e Ts T T T s T s T T T s --∞→<++=++|cos sin |,0cos sin lim 2222 2sin lim 0π=⎰∞→TT du u u 。

Th 4.1.3(逆转定理)设F(x)和)(t ϕ分别为随机变量X 的分布函数和特征函数，则对F 的任意两个连续点x 1<x 2，有.)(21lim)()(2112⎰---∞→-=-TTitx itx T dt t ite e x F x F ϕπ证明：记 ⎰---=-TT itx itx T dt t it e e J )(2121ϕπ’则⎰----=T T itXitx itx T dt e ite e E J 2121π⎰------=TT x X it x X it dt ite eE )()(2121π⎰----+--=Tx X it x X it x X it x X it dtitee ee E 0)()()()(221121πdt ttx X t x X E T⎰---=21)sin()sin(1π)]()([21lim 21x X sign x X sign E J T T ---=∞→. 不妨设x 1<x 2, 则⎪⎩⎪⎨⎧<<==><=---21212121210)()(xX x x X or x X x X or x X x X sign x X sign.2)0()(2)0()()()0()]()([21lim 11221221-+--+=--+=+==→∞x F x F x F x F x F x F x X P x X P J T T 若x 1和x 2 是F(x)的连续点，则定理得证.Th （唯一性定理）分布函数有特征函数唯一确定。

证明：将分布函数的连续点集记为)(F C ，设)(t ϕ是)(x F 的特征函数.当)(,1F C x x ∈时，由反演公式.)(21lim)()(2112⎰---→∞-=-TT itx itx T dt t it e e x F x F ϕπ令1x 在)(F C 中趋于∞-，则有对)(2F C x ∈∀，)(2x F 由)(t ϕ唯一确定。

当)(F C x ∉时，可令2x 在)(F C 中单调减的趋于x ，由)(x F 的右连续性可知，)(x F 由)(t ϕ唯一确定。

Th. 若特征函数)(t ϕ绝对可积，即⎰∞∞-∞<dt t |)(|ϕ则其对应的分布函数)(x F 为连续型，且密度函数为.)(21)(⎰∞∞--=dt e t x p itx ϕπ证明：对R a ∈∀，令a b n ↓，根据反演公式有⎰∞∞--≤-+-≤dt t a b a b F n n |)(|22)0F(F(a))(0ϕπ由定理条件可知，2)0F(F(a))(-+-a b F n 单调减的趋于0，而根据)(x F 的右连续性可知)()(a F b F n →，故有).0()(,02)0F(F(a))(-==-+-a F a F a a F 即亦即)(x F 处处连续。

对0,≠∆∈∀x R x ，根据反演公式得⎰∞∞-∆+--∆-=∆-∆+dt t x it e e x x F x x F x x it itx )(21)()()(ϕπ令0→∆x 得到)()()(x p x x F x x F →∆-∆+；itxx x it itx e xit e e -∆+--→∆-)( 所以，.)(21)(⎰∞∞--=dt e t x p itxϕπ二．多元特征函数若n 维随机变量T n X X X ),...,(1=的分布函数为),...,,(21n x x x F ，则定义其特征函数为⎰⎰∞∞-∞∞-∑===),...,(...)(11n x t iXit x x dF eEet nk kk T ϕ其中，.),...,,(21T n t t t t =也称为是随机向量T n X X X ),...,(1=的联合特征函数.Th1. 由随机向量T n X X X ),...,(1=的联合特征函数可求出任意个子向量的边缘特征函数.例如).0,...,,(),();0,...,0,()(2121,11211t t t t t t X X X ϕϕϕϕ==性质：;),...,(),...,(;1)0(|),...,(|111n n n t t t t f t t ϕϕϕ=--=≤0,...,011...1`11111|),...,(......==+-∂∂∂∑==n n nnj jn t t n nk k k k k k nk t t t t iX EX ϕ 反演公式nn c c nj jb it a itc c c c n n dt dt t t it e eb X a b X a P jj jj n nn ...),...,(...)2(1...),...,(1112n 111111lim lim ϕπ⎰∏⎰-=---∞→∞→-=≤<≤<Th2. 随机变量X 和Y 相互独立的充要条件为)()(),(2121,t t t t Y X Y X ϕϕϕ=三．n 元正态分布随机向量,),...,(1T n X X =X 定义,),...,(1Tn EX EX EX =T EX X EX X E X ))(()cov(--=1. 设),1,0(~,,...,1N iid X X n 则其联合密度为nnn n n R x x x x x x x f ∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-=),...,(,)...(21exp )2(1),...,(1222212/1πEX=0,cov(X)=I n 密度函数又可写成}21exp{)2(1)(2/Ix x x f Tn -=π称之为标准n 元正态分布。

Def 如果A 是n 阶非奇异阵，μ是n 维实向量，而随机变量X 服从n 元标准正态分布，则将随机变量μ+=AX Y所服从的分布成为n 元正态分布.易证：0)cov(,>==TAA Y EY μ.记,T AA =∑用记号 ),(~∑μN Y 表示Y 服从参数是∑,μ的正态分布.TH, n元正态分布),(∑μN 的概率密度为)}()(21exp{||)2(1)(12/12/μμπ-∑--∑=-x x x f T n . Th. n 元正态分布),(∑μN 的特征函数为n TTR t t t t i t ∈∀∑-=},21exp{)(μϕ证明：首先，对服从标准多元正态分布的随机向量X,其特征函数为};21exp{}21exp{)(}exp{)(121t t t t X it E t T n j j nj j X Ti -=-===∑∏==ϕϕ根据多元正态分布的定义，存在矩阵A ，使得T AA =∑，故所求特征函数为}.21exp{}21exp{)()(t t it t AA t eEeeEet TTT T it AXit it AX it T T T ∑-=-===T +μϕμμμTh. n 元正态分布 ),(∑μN 的任一k 维的边缘分布都是k 元正态分布，其中n k <≤1. 证明：,),...,,(),,(~21Ti i i k n k X X X X N X=∑μ kX的特征函数可以通过在X 的特征函数中令},...,,{,021k j j i i i t t ∉∀=得到.有令},...,{,0;),...,(11k j Xit n X i i j t Eet t T ∉∀==ϕ.),...,(,),()0,...,,...,0,,0(11Ti i X X is i X k k kT ki t t s s Eet t ===其中ϕϕ又根据}21exp{)(t t it t TTX ∑-=μϕ，得到.,...,,...,,),...,(},21exp{)(11****1列形成的矩阵行和第的第是其中k k T i i T TX i i i i s s is s k k ∑∑=∑-=μμμμϕ另外，还可以证明多元正态分布的各种形式的条件分布还是正态分布.Th 设),(~,...,,21∑μn n N X X X ，则它们相互独立的充要条件是它们两两互不相关.证明：必要性是显然的.下证充分性.若n X X X ,...,,21两两互不相关，则,,0),cov(j i X X j i ≠∀=即},...,,{2211nn diag σσσ=∑，所以∏∏∑=-=-==nkk X nkkk k k k k k kk k Tn t t t i t t i t t k ).(}21exp{}21exp{),...,(2121ϕσμσμϕ由多元特征函数的性质可知n X X X ,...,,21相互独立.Th 对于n 维正态随机向量),(~),(21∑=μN X X X T T T ，对∑和μ作相应的分块⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑∑=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2221121121，μμμ 则),,(~),,(~22211111∑∑μμN X N X 且.01221=∑相互独立的充要条件是和X XTh 多元正态分布经过任意的线性变换后依然服从多元正态分布.X C Y N X n m m n ⨯=∑),,(~μ即若,则).,(~T m n C C C N Y ∑μ推论：.,I),N(~X Y ,0),,(~.12/-12/-1分量相互独立的即则Y N X μμ∑∑=>∑∑).,(~),,(~.222I A N AX Y A I N X σμσμ=是正交阵，则Th ).,(~,),(~1a a a N X a R a N X TT T n n ∑∈∀⇔∑⨯μμ。