函数图像与函数方程【知识要点】 1.函数图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①)(x f y =――→关于x 轴对称)(x f y -=； ②)(x f y =――→关于y 轴对称)(x f y -=； ③)(x f y =――→关于原点对称)(x f y --=；④)10(≠>=a a a y x且――→关于y ＝x 对称)10(log ≠>=a a x y a 且.(3)翻折变换①)(x f y =――――――――――→保留x 轴上方图像将x 轴下方图像翻折上去|)(|x f y =. ②)(x f y =――――――――――――→保留y 轴右边图像，并作其关于y 轴对称的图像|)(|x f y =. (4)伸缩变换①)(x f y = )(ax f y =.②)(x f y = )(x af y =.2.函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． (2)几个等价关系方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 有零点，即存在),(b a c ∈，使得0)(=c f ，这个c 也就是方程0)(=x f 的根．【例题解析】考点一 函数图象变换【例1】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数()2xf x =的图像经过怎样的变换得到的。

（1）12x y -= （2）2+1x y = （3）2xy =（4）2-1x y = （5）2xy =- （6）2xy -=-【变式训练1】画出下列函数的图像，并说明它们是由函数()2log f x x =的图像经过怎样的变换得到的。

（1）2log (1)y x =- （2）2log 1y x =+ （3）2log ||y x =（4）2|log 1|y x =- （5）x y 2log -= （6）)(log 2x y --=【变式训练2】函数()y f x =的曲线如图所示，那么方程(2)y f x =-的曲线是（ ）A ．B ．C ．D ． 【变式训练3】函数21x y x -=-的图象大致是 （ ）【变式训练4】(2012)已知定义在区间]2,0[上的函数)(x f y =的图像如图所示，则)2(x f y --=的图像为( )考点二 函数的零点 题型一 零点存在性定理【例2】下列各种说法中正确的个数有（ ） ①函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间(,)a b 只有一个零点; ②函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅≤,则函数()y f x =在区间[,]a b 有零点; ③函数()y f x =满足()()0f a f b ⋅>,则函数()y f x =在区间(,)a b 没有零点;④函数()y f x =在[,]a b 上连续且单调,并满足()()0f a f b ⋅<,则函数()y f x =在区间(,)a b 只有一个零点;⑤函数2()23f x x x =--的零点是(3,0)与(1,0)-. A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个【例3】若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）A ．(),a b 和(),b cB ．(),a -∞和(),a bC ．(),b c 和(),c +∞D ．(),a -∞和(),c +∞【例4】函数a ax x f 21)(-+=在区间)1,1(-上存在一个零点,则实数a 的取值围是________【变式训练5】函数2()3log ()x f x x =--的零点所在区间是（ ） A. 5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B. ()2,1-- C. ()1,2 D. 52,2⎛⎫⎪⎝⎭【例5】已知二次函数2(),f x ax bx c =++满足42c ba +>且0c <，则含有()f x 零点的一个区间是（ ） A ．()2,0-B ．()1,0-C ．()01，D ．()02，【变式训练6】根据表格中的数椐，可以判断2)(--=x e x f x的一个零点属于区间（ ）x -1 0 1 2 3x e0.37 1 2,72 7.39 20.09 x+212345A.()1,0-B.()0,1C.()1,2D.()2,3考点三 函数与方程题型二 方程()f x m =的根的问题【例6】若方程()20f x -=在(,0)-∞有解,则()y f x =的图象是【例7】已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实 根,则实数k 的取值围是___________________.【变式训练9】已知函数⎩⎨⎧≤+->=,0),4(,0|,lg |)(x x x x x x f 则函数()3-=x f y 的零点的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4题型四 方程()()f x g x =型问题【例8】已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值围是（ ）A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24) 【变式训练10】函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【变式训练11】函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【变式训练12】函数[]x x f =)(的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[]4-5.3-=，[]21.2=，当(]时5.4,3∈x ，x x f =)(，的解集为（ ）A ．{}4,3B ．{}4C ．{}3D ．]5.4,3(【变式训练13】 []x 表示不超过x 的最大整数，定义函数()[]f x x x =-．则下列结论中正确的有___________________.①函数()f x 的值域为[]0,1 ②方程()12f x =有无数个解 ③函数()f x 的图像是一条直线 ④函数()f x 是R 上的增函数【变式训练14】定义函数()[[]]f x x x =，其中][x 表示不超过x 的最大整数，如：1]5.1[=，2]3.1[-=-，当),0[n x ∈，*∈N n 时，设函数()f x 的值域为A ，记集合A 中的元素个数为t ，则t 为（ ）A ．212n n-- B ．22n n - C ．212n n -+ D ．222n n-+ 题型五 复合函数零点问题【例9】已知定义在[2,2]-上的函数)(xfy=和)(xgy=，其图象如下图所示：给出下列四个命题：①方程0)]([=xgf有且仅有6个根②方程0)]([=xfg有且仅有3个根③方程0)]([=xff有且仅有5个根④方程0)]([=xgg有且仅有4个根其中正确命题的序号（）A．①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④【例10】设函数()()()220log0x xf xx x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()1y f f x=-⎡⎤⎣⎦的零点个数为______. 【变式训练15】对实数a和b，定义运算“⊗”：,1,,1a a ba bb a b-≤⎧⊗=⎨->⎩．设函数22()(2)()f x x x x=-⊗-，x∈R，若函数()y f x c=-的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值围是（）A．3(,2](1,)2-∞-- B．3(,2](1,)4-∞---C．11(1,)(,)44-+∞ D．31(1,)[,)44--+∞【变式训练16】定义域和值域均为[]aa,-（常数0>a）的函数()xfy=和()xgy=的图像如图所示，给出下列四个命题：（1）方程()[]0=xgf有且仅有三个解；（2）方程()[]0=xfg有且仅有三个解；（3）方程()[]0=xff有且仅有九个解；（4）方程()[]0=xgg有且仅有一个解。

那么，其中正确命题的个数是。

【高考真题】1.【2015高考，文14】若函数()|22|xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值围是_____. 2.【2015高考，文14】在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为 .3.函数x xx f 261)(+-=的零点一定位于区间（ ） A. )4,3( B.)3,2( C. )2,1( D.)6,5( 4已知0x 是函数xx f x-+=112)(的一个零点，若),1(01x x ∈，),(02+∞∈x x ，则（ ） A.0)(1<x f ，0)(2<x f B.0)(1<x f ，0)(2>x fC.0)(1>x f ，0)(2<x fD.0)(1>x f ，0)(2>x f5.若0x 是方程1312xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解,则0x 属于区间（ ）A .2,13⎛⎫⎪⎝⎭ B. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ D .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭6.（2015-2016三中期中联考）[]x 表示不超过x 的最大整数，定义函数()[]f x x x =-. 则下列结论中正确的是 （填正确的序号）. ①函数()f x 的值域为[0,1)；②方程1()2f x =有无数个解；③方程1()2f x x =有二个解；④若关于x 的方程()f x kx k =+有3个不同的实根，则实数k 的取值围是111(1,][,)243--.。