0
)
2 f (X0)
2
f
(
X
0
)
x2x1
2 f (X0
)
xnx1
2 f (X0) x1x2
2 f (X0 x1xn)源自2 f (X0) x2 2
2 f (X0)
xn x2
2 f (X0)
x2xn
2 f (X0
)
xn 2
是f在点X 0处的Hesse矩阵
npjiangb@
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• 2.2 多元函数无约束的极小化 一、Hesse矩阵
设f
: Rn
R1 ,
X
0
Rn
, 如果f在点X
处对于自变量
0
X的各分量的二阶偏导数 2 f ( X 0 ) (i, j 1,2,, n) xix j
都存在，
则
称
函数f在
点X
处
0
二阶
可
导，
并且称矩阵
2
f (X x12
其中 N x * x x x * , 0 。 同样有：严格局部最优解。若 f x * f x
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定义 范数： 在 n 维实向量空间 R n 中，
定义实函数 x , 使其满足以下三个条件：
（１）对任意 x R n 有 x 0 , 当且仅当
dt
t0
• 五 终端控制问题
J Q[x(t f ), t f ]
• 六 非线性系统的最优控制
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• 1.5 最优化问题的解法
• 解析法：利用函数的解析性质去构造迭代公式使之收敛 到最优解
• 直接法：它对函数的解析性质没有要求，而是根据一定 的数学原理来确定
• 图解法：
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第一章 最优化方法的一般概念 • 1.1 目标函数、约束条件和求解方法
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• 1.2 静态最优化与动态最优化问题
静态最优化：与时间无关的所描述问题的最优解。 代数方程。
动态最优化：与时间相关的所描述问题动态过程的最优解。 微分方程。
x
max 1i n
xi
第二章 非线性规划
• 2.1 一元函数的极小化
• 牛顿迭代公式：
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• 平分法（二分法）： • 弦截法（线性插入法）
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• 费波那奇(Fibonacci)法： • 抛物线法
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• 一 时间最优控制
J tf dt t0
• 二 线性调节问题
J tf[xTQx uT Ru]dt t0
使线性系统的状态保持在平衡位置状态的误差最小，
控制能量也最小。
• 三 跟踪问题
J
tf t0
[(x
xr
)T
Q(
x
xr
)
uT
Ru]dt
系统的状态跟踪某一个确定的状态
• 四 最少燃料问题
u dm , J t f u dt
之和最小。
• 建模：设第i个货栈的位置为(xi,yi)——决策变量
•
第i个货栈供给第j个市场的货物量为Wij。第i个货栈到第j个市
场的距离为dij。
dij xi a j 2 yi bj 2
• 数学模型：
m n
min
Wij xi a j 2 yi bj 2
导，并且称矩阵
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f1(X 0)
x1 f2(X
0
)
m nF(X 0)
x1
fm(X
0
)
x1
f1(X 0) x 2
f2(X 0)
x 2
fm(X 0) x 2
f1(X 0)
x n f2(X
0
)
x n
fm(X
0
)
xn
是F(X )在点X 0处的一阶导数或Jacobi矩阵， 简记为：
x 0 时 x 0；
（２）对任意 x R n 及实数 有 x • x ；
（３）对任意 x ,y R n 有 x y x y
则称函数 x 为R n上的范数。
常见的范数： P-范数：
x p
n
1/ p
xi p
i 1
1 p
特别：
2-范数：
x 2
n i 1
xi
1/2
2
-范数：
如何使描述问题的动态过程达到最优---最优控制。
• 1.3 线性规划与非线性规划问题
线性规划：目标函数和约束条件都是变量的线性函 数的最优化问题。 非线性规划：目标函数和约束条件中至少存在一个 变量，使函数或约束为非线性的最优化问题。
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• 1.4 最优化方法在控制领域中的应用
可行解的全部集合称为可行域，记为D
数学表达：
D x ci x 0,i 1,2, m,ci x 0,i m 1, ,p,x R n
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定义 整体最优解 若： x * D , 对于一切
x D 恒有 f x * f x , 则称 x * 为最优化
问题的整体最优解。
若： x D ,x x *, 恒有 f x * f x ,
则称 x * 为最优化问题的严格整体最优解。
定义 局部最优解 若：x * D , 存在 x * 的某邻域
N
x*
,
使得对于一切
x
D
N
x*
恒有 f x * f x
则称x * 为最优化问题的局部最优解。
二、Jacobi矩阵
设F : R n R m ,X 0 R n ,记
F(X ) f1(X ),f2(X ), fm(X )T ,
如果fi(X )(i 1,2, ,m )在点X 0处对于自变量
X x1,x2, xn T 的各分量的偏导数
fj(X 0)(j x j
1,2, ,n)
都存在，则称向量函数F(X）在点X 0处一阶可
F(X 0) m nF(X 0)
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• ◆选址问题 有n个市场，第j市场的位置为（aj，bj），对某种货物的
需要量为qj(j=1,…,n).计划建立m个货栈，第i个货栈的容量为 ci(i=1,…,m)。确定货栈位置，使各货栈到各市场的运输量与路程乘积
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• 最优化问题的数学表达
目标函数 ： min f x
1.1
约束： s.t. ci x 0,i 1,2, m, 1.2
ci x 0,i m 1, ,p, 1.3
其中：
x x1,x 2, x n T R n
满足约束的目标函数的解x称为可行解